Измерение параметров непериодических процессов

Непериодический сигнал имеет сплошной спектр, т. е. полностью определяется комплексным параметром

измерение, которое производится теми же методами парал­лельного или последовательного спектрального анализа, ко­торые были рассмотрены в предыдущем разделе. Так как интегрирование в бесконечных по времени пределах невоз­можно, удовлетворяются получением текущего спектра

который является функцией не только частоты, но и време­ни анализа Т_а . Точность измерения спектра тем выше, чем больше время анализа.

На практике часто ограничиваются определением ши­рины спектра, под которой понимают интервал частот, в ко­тором сосредоточена основная часть энергии сигнала. Обыч­но это ширина главного лепестка. Во многих случаях бывает достаточно измерить еще более простые параметры сигнала.

Пример 54. В условиях, описанных в примере 34, измерен период колебании Т и логарифмический декремент затухания x Определить время установления показания.

Большое практическое значение имеет измерение парамет­ров импульсных процессов. Главными из них являются амп­литуда, длительность, длительность фронта импульса. Основ­ным средством измерений служит осциллограф, но при очень коротких импульсах возможности его ограничены. Поэтому применяются специфические методы и средства измерения па­раметров импульсов.

Метод измерения амплитуды, основан­ный на расширении импульса, заключается в том, что длительность импульса увеличивается до значения достаточного для измерения его амплитуды, например, вольтметром постоянного напряжения. При использовании цифро­вых приборов эта длительность составляет несколько милли­секунд. Функциональная схема расширителя импульса по­казана на рис. 104. Поступающим на его вход импульсом

конденсатор С заряжается до напряжения, близкого к U_mах. После окончания импульса конденсатор медленно разря­жается через сопротивление R. Коэффициент расширения импульса

обычно не превышает 10³. Для получения большего коэф­фициента расширения применяют многокаскадные расшири­тели, однако увеличивать число каскадов больше 2 ... 3 нецелесообразно, так как при этом ухудшается стабиль­ность работы расширителя из-за влияния температуры на полупроводниковые приборы. При необходимости коэффи­циент расширения можно увеличить, применив схему уско­рения заряда, а также отрицательную обратную связь, замед­ляющую разряд накопительного конденсатора.

Метод измерения амплитуды, основан­ный на амплитудно-временном преобра­зовании, состоит в том, что амплитуда импульса преоб­разуется в интервал времени, длительность которого, пропор­циональная амплитуде, с большой точностью измеряется цифровым измерителем временного интервала. Структур­ная схема амплитудно-временного преобразователя изобра­жена на рис. 105. За время действия входного импульса че­рез диодное зарядное устройство конденсатор заряжается до напряжения, близкого к U_max . После окончания импуль­са он медленно разряжается через разрядное устройство, представляющее собой стабилизатор тока(см.рис.105,б).

Последний обеспечивает линейность разряда, вследствие чего интервал времени между двумя импульсами, вырабаты­ваемыми устройством формирования интервала в начале. и в конце разряда (см. рис. 105, в) ,

T = =k_пU_{max ,}

где v = const — скорость изменения напряжения на конденса­торе при разряде; k_п — коэффициент преобразования. Метод измерения временных интерва­лов, основанный на счете импульсов, яв­ляется наиболее распространенным из-за удобства ввода данных в ЭВМ и цифровые автоматы. Сущность его поясняется временными диаграммами, показанными на рис. 106. Старт-стопными импульсами, формируемыми в начале и в конце

измеряемого промежутка времени устройством формиро­вания интервала (см. рис. 106, а), запускается и останавли­вается счетчик импульсов, вырабатываемых высокостабильным по частоте f_кв кварцевым генератором (рис. 106, б). Через число сосчитанных импульсов N длительность изме­ряемого промежутка времени Т выражается следующим образом:

T=(N-1) T_и + Dt₁ + Dt₂

где Т_и = 1/ f_кв ~ период повторения импульсов, a Δt₁и Δt₂ — неизвестные интервалы времени между началом и концом измеряемого промежутка времени и, соответственно, первым и последним счетными импульсами. Неизвестное значение каждого интервала находится в пределах от О до Т_и . Предста­вим эту ситуацию математической моделью, показанной на рис. 107. Тогда числовые характеристики результата изме­рения будут:

_

T=NT_и ;

и_T = T_и /

Точность измерения можно повысить за счет синхронизации, совместив со старт импульсом первый счетный импульс. Тогда

Такая точность приемлема, если Т >> Т_и. При измерении дли­тельности крутых фронтов и очень коротких импульсов ис­пользуют стробоскопический и нониусный методы измерения временных интервалов.

Импульсные процессы могут иметь настолько сложную форму, что такие понятия, как амплитуда, длительность импульса и другие, становятся неопределенными. Что, напри­мер, можно сказать о параметрах импульса, показанного на рис. 108?

Для импульсных процессов сложной формы разработана система обобщенных параметров импульсов.

Под обобщенной амплитудой и длительностью импульса произвольной формы (без высокочастотного заполнения) понимаются амплитуда и длительность эквивалентного прямоугольного импульса, имеющего такую же площадь и энергию. Обобщенная амплитуда U_m связана с максималь­ной амплитудой импульса U_max соотношением U_m = К_ф1 U_max, где К_ф1— коэффициент формы, значения которого для им­пульсов наиболее распространенной формы приведены в табл. 24. Там же приведены выражения для обобщенных длительностей импульсов.

Обобщенная длительность фронта импульса произволь­ной формы (без высокочастотного заполнения) определяет­ся как длительность фронта некоторого эквивалентного им­пульса с линейно нарастающим фронтом. При таком опреде­лении четко выражены начало и конец фронта, а скорость нарастания постоянна и равна отношению амплитуды к дли­тельности фронта.

Понятия обобщенных мощности и длительности импуль­са с высокочастотным заполнением аналогичны. Ими це­лесообразно пользоваться во всех случаях, когда представ­ляет интерес энергетическое воздействие импульса с высоко­частотным заполнением.

Коэффициенты формы характеризуют отличие формы импульсов от прямоугольной. Чем больше их используется, тем полнее описание формы. Приборы, измеряющие обобщенные параметры импульс­ных процессов, называются интегральными измерителями па­раметров импульсов. Отечественной промышленностью они выпускаются в аналоговом и цифровом варианте.

5.3. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.3.1. Измерение параметров стационарных случайных процессов

Процесс называется случайным, если при многократных повторениях он всякий раз протекает случайным образом.

Существуют два способа описания случайных процессов. При первом из них каждому текущему моменту времени t ставятся в соответствие случайные величины X_iÎ{1,...,n} при втором — случайный процесс X(t) задается множеством своих реализации X_i(t) (рис. 109). Случайные величины X_i в каждом сечении t = const подчиняются определенному закону распределения вероятности. Если он одинаков для любого сечения, т. е. не зависит от времени, то процесс называется стационарным; в противном случае — нестационарным. Ста­ционарные процессы обладают свойством эргодичности, зак­лючающемся в том, что вероятностные характеристики, вы­численные по множеству реализации и по любой из них, рав­ны между собой. Это позволяет при измерениях обходиться одной реализацией

Исчерпывающая информация о случайном процессе содер­жится в его многомерной интегральной функции распределе­ния вероятности

F_n(X₁ , . . , X_n ; t₁ , . . , t_n ) = P{ X(t₁) ≤ X₁ , . . . ,X(t_n) ≤ X_n},

характеризующей вероятность того, что в моменты време­ни t_i случайные величины X_i, не превысят определенных своих значений, и в многомерной дифференциальной функции (плотности) распределения вероятности

p_n (X₁ , . . , X_n ; t₁ , . . , t_n )=

Применительно к одной реализации стационарного слу­чайного процесса интегральная функция распределения ве­роятности F(X), определяемая как вероятность того, что значения X(t) лежат, ниже некоторого уровня Х (t) = Х = const (см. рис. 110), характеризуется относительным вре­менем п ребывания сигнала X(t) ниже этого уровня, т. е.

F(X) = P{ X(t) < X } =

где Т — время измерения. На этом и основывается измере­ние F (X). Сигнал Х (t) подается на амплитудный селектор (см. рис. 111) с регулируемым порогом срабатывания Х жду­щего одновибратора — триггера Шмитта, вырабатывающего прямоугольные импульсы единичной амплитуды (см. рис. 110), интегрирование которых позволяет найти оценку интегральной функции распределения вероятности по фор­муле ,

так как численное значение площади каждого i-го импульса равно его длительности t_иi . Точность оценки тем выше, чем больше время измерения Т.

В дискретном варианте измерение функции распределения вероятности производится следующим образом. Стробирующее устройство (см. рис. 112, а) пропускает сигнал Х (t) только в моменты поступления на него импульсов опроса, вырабатываемых специальным генератором. В результате на амплитудный селектор поступают короткие импульсы, модулированные по амплитуде. Селектор представляет собой ограничитель, пропускающий только те импульсы, ампли­туда которых больше порогового значения X. Число их под­считывается счетчиком и позволяет получить оценку интег­ральной функции распределения вероятности по формуле

где n — показание счетчика; N — общее число импульсов оп­роса за время анализа Т. На рис. 112, б приведены временные диаграммы, иллюстрирующие измерение интегральной функ­ции распределения вероятности стационарного случайного процесса этим методом.

где обозначения ясны из рис. 113, а. Отсюда вытекает способ получения оценки плотности распределения вероятности

где t_иi = Dt_j могут рассматриваться как временные интерва­лы между фронтами импульсов, формируемых на время пре­вышения сигналом X(t) уровней Х = const (см. рис. 113,6) и Х + DХ = const (рис. 113, в). Соответствующая структурная схема показана на рис. 114. Измеритель плотности распреде­ления вероятности стационарного случайного процесса состо­ит из двух идентичных каналов, в которых вырабатываются прямоугольные импульсы единичной амплитуды, длительнос­ти которых в каждом канале равны, соответственно, време­ни превышения сигналом уровней Х и Х + DХ . Последние задаются регулятором уровней, обеспечивающим в то же время DХ = const. В устройстве вычитания формируются импульсы с единичной амплитудой и длительностью t_иi (см. рис. 113, г), интегрирование которых позволяет получить в отсчетом устройстве оценку . Точность оценки тем вы­ше, чем меньше DХ и чем больше время измерения Т.

При дискретном измерении плотности распределения ве­роятности стационарного случайного процесса подсчиты­вается разность между количеством импульсов опроса, посту­пивших из двух идентичных каналов с разными пороговы­ми уровнями. Подробно работу измерителя можно проана­лизировать по рис. 115. Оценка плотности распределения вероятности получается по формуле

где по-прежнему n — показание счетчика, а N — общее число импульсов опроса за время анализа Т.

На практике часто ограничиваются измерением более прос­тых параметров — моментов или числовых характеристик законов распределения вероятности стационарных случай­ных процессов.

Первый начальный момент (среднее значение или мате­матическое ожидание стационарного случайного процесса)

представляет собой постоянную составляющую сигна­ла (см. рис. 116). Получение оценки среднего значения

сводится к усреднению сигнала за время измерения Т. Оно выполняется 'всевозможными фильтрами нижних частот (например, интегрирующими RC-цепочками или интегри­рующими звеньями, построенными на основе использова­ния усилителей постоянного тока с глубокой отрицатель­ной обратной связью), магнитоэлектрическими механиз­мами, инерционными системами, устройствами с демпфиро­ванием и т. п. В цифровом варианте оценка среднего значе­ния получается путем усреднения не самого сигнала, а его дискретных значений

где t — интервал между выборками из реализации Х (t), а п — число выборок.

Второй начальный момент (средняя мощность стацио­нарного случайного процесса)

характеризует энергетический уровень сигнала. Для получе­ния оценки

обычно используется квадратичное детектирование сигнала с последующим усреднением за время измерения Т. Среднее значение выходного напряжения после квадратичного Преоб­разователя можно измерять магнитоэлектрическим прибо­ром. Проще всего задача измерения решается с помощью вольтметров среднеквадратического значения, имеющих отк­рытый вход. Показание такого вольтметра равно и не зависит от формы измеряемого напряжения.

Второй центральный момент (дисперсия стационарного случайного процесса)

характеризует среднюю мощность переменной составляющей (флюктуаций) сигнала. Для получения ее оценки

также может быть использован вольтметр среднеквадрати­ческого значения, но с закрытым входом. Показания такого вольтметра будут соответствовать стандартному отклонению

Можно также воспользоваться соотношением

в котором оценка средней мощности, измеряемая цифровым прибором,

где с = const.

Мерой неопределенностизначений стационарного случай­ного процесса служит энтропия, для оценки которой

Используются l дискретных значений плотности распределе­ния вероятности.

Мерой статистической связи между значениями стацио­нарного случайного процесса без постоянной составляющей в моменты времени t₁ и t₂= t₁ -t служит смешанный цент­ральный момент 2-го порядка , называе­мый корреляционным. Вероятностно-статистические харак­теристики стационарного случайного процесса не зависят

от времени, поэтому t₁ можно выбрать произвольно; приняв t₁= t. Тогда корреляционный момент будет зависеть только от τ:

(29)

С переходом от фиксированного времени к текущему корреляционный момент стал функцией.

Определенная выражением (29) корреляционная функ­ция обладает следующими свойствами.

1. При t= 0 корреляционная функция р(0)=Х(t)X(t)= Х² = ­ максимальна и равна дисперсии стационарного случайного процесса (рис. 117). Если измеряемой физичес­кой величиной является, например, сила тока i(t), то r (0) = — полная мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом. В том случае, когда процесс имеет постоянную и пере­менную составляющие, r(0) = + где и мощ­ности, соответственно переменной и постоянной составляю­щих.

Максимальное значение корреляционной функции при t = 0 объясняется тем, что статистическая связь между не­различимыми по времени значениями X(t) является наи­большей.

Корреляционную функцию часто нормируют по ее мак­симальному значению: r (τ) = r (τ) / r (0). Тогда r (0) = 1.

2. Корреляционная функция является четной, т. е. р (τ) = r (—τ). Это можно показать, выбрав в качестве текущего момент времени t₂ = t и обозначив t₁= t₂ + τ (см. рис. 116). Спектр корреляционной функции состоит, следовательно, только из косинусоидальных составляющих.

3. При τ→∞ r (τ) → 0 (у процессов с постоянной состав­ляющей — к ), если в X(t) нет детерминированной составляющих.

4. Корреляционная функция r(τ) монохроматического колебания являетсякосинусоидой с такой же частотой. Дока­зательство этого важного свойства приведено в примере 55, а важным следствием является то, что при корреляционном преобразовании теряется информация о фазовой структуре процесса.

5. Корреляционная функция суммы независимых процес­сов равна сумме их корреляционных функций. Вместе с предыдущим это свойство используется в оптимальной филь­трации для суммирования гармоник сигнала в момент τ= 0.

6. Корреляционная функция связана со спектральной плотностью мощности случайного процесса прямым и обрат­ным преобразованиями Фурье:

которые с учетом четности корреляционной функции могут быть переписаны в виде:

Это положение известно как теорема преобразования Винера-Хинчина. Таким образом, энергетический спектр G(ω), как и корреляционная функция р (τ ), может служить неслу­чайной характеристикой случайного процесса.

На практике из-за конечности времени усреднения Т оп­ределяется не сама корреляционная функция, а ее оценка

что учитывается иногда внесением в результат измерения поправки. Представление о ней можно получить из следую­щего примера.

Пример 55.Найти корреляционную функцию гармонического колебания Х (t) = X_max. sin (ωt + φ) и поправку при ее измерении с интервалом усреднения Т.

Решение.Оценка корреляционной функции

Таким образом, поправка Θ (τ ) является гармонической функ­цией той же частоты, что и р (τ), но с начальной фазой, содержащей информацию о фазе гармонического колебания X(f) (рис. 118). Поп­равка Θ (τ ) особенно значительна на низких частотах и убывает с ­

уве­личением времени усреднения Т. При τ → 0 корреляционная функция сложного сигнала р(τ) → р(0), так как поправки суммируются с раз­ными фазами (в том числе и с противоположными).Средства измерений, предназначенные для определения корреляционной функции, называются коррелометрами. Раз­личают коррелометры последовательного и параллельного действия. Структурная схема простейшего коррелометра последовательного действия приведена на рис. 119. Значе­ния корреляционной функции получают, изменяя время задержки сигнала t. В многоканальном коррелометре пара­ллельного действия осуществляется одновременное вычис­ление значений корреляционной функции при различных значениях t, тем самым сокращается время измерения. Упро­щенная структурная схема такого коррелометра показана на рис. 120.

В цифровых коррелометрах все операции производятся с дискретными значениями сигнала. Современные цифровые анализаторы статистических характеристик являются, как правило, многофункциональными приборами, позволяющими измерять все основные параметры стационарных случайных процессов. В их число входит и энергетический спектр G(ω) , для определения которого цифровой коррелометр дополня­ется вычислительным устройством, осуществляющим быст­рое преобразование Фурье. Энергетический спектр G(ω), представляющий собой спектральную плотность мощности (среднюю мощность сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот), может измеряться и непосредственно спектроанализатором, к выходу которого подключается вольт­метр среднеквадратического

значения с закрытым входом. В этом случае оценка энергетического спектра

где — оценка средней мощности, выделяемой на сопро­тивлении 1 Ом спектральной составляющей сигнала с часто­той ω, соответствующей средней частоте узкополосного фильтра с шириной полосы пропускания Δω. Эквивалент­ная структурная схема измерения показана на рис. 121. От спектрального анализа детерминированных процессов, являю­щегося линейным преобразованием, она отличается наличием квадратичного преобразования и усреднения.