Измерение параметров периодических процессов

Критерии, приводящие к отношению правдоподобия. Обозначим через P_N вероятность то­го, что сигнал на выходе оптимального фильтра представляет собой только реакцию на помеху, а через P_X+N — вероятность того, что в нем содержится еще и отклик на полезный входной сигнал. Тогда вероятность ошибочного решения

Естественно, что условный „идеальный наблюдатель", прини­мающий решения, либо вообще не должен совершать ошибок, либо должен свести до минимума их вероятность. Поэтому критерий

называется критерием идеального наблюдателя. Он является частным случаем критерия минимума среднего риска, в ко­тором учитывается значимость или стоимость ошибок каж­дого вида:

Заменяя P_Iна 1 — P₀ и выполняя преобразования, тот и другой критерии можно представить в общем виде:

Последнее выражение минимизируется при

что вполне понятно, так как вероятность правильного обнару­жения желательно иметь возможно большую, а вероятность ложной тревоги возможно меньшую.

Полученное выражение может рассматриваться самостоя­тельно и называется критерием взвешенной (с помощью g) комбинации (из двух слагаемых).

Для того, чтобы вывести из критерия взвешенной комби­нации значение W_opt введем в рассмотрение функцию решения

с помощью, которой выражения для вероятности правильного обнаружения и вероятности ложной тревоги запишутся в виде:

где значения интегралов на участке изменения переменной от — ∞ до неоптимального пока еще порога W₀ равны нулю.

Критерий взвешенной комбинации можно тогда представить в виде

p₀ (W) F(W) (L - g) dW = max,

где L = называется отношением правдоподобия.

В подынтегральном выражении с порогом обнаружения связа­на только функция решения. Следовательно, максимизиро­вать интеграл можно только за счет выбора этой функции. Но она имеет всего два значения: 0 и 1. Поэтому поступим следующим образом. Принимая во внимание, что плотность распределения вероятностиp₀ (W) всегда положительна, будем придавать функции решения F(W) значение 0, если раз­ность L — g отрицательная, и значение 1, если эта разность положительная. В этом случае, очевидно , значение интеграла

будет максимальным, а оптималь­ное правило решения запишется в виде

ì0 при L£g

F_opt (W) í

î1 при L>g

Дальнейшее зависит от того, что представляет собой отноше­ние правдоподобия. С одной сто­роны; как отношение двух плотностей вероятности оно не может быть отрицательным. С другой стороны; конкретный его вид зависит от законов распределе­ния вероятности сигнала на выходе оптимального фильтра при наличии и при отсутствии в нем отклика на полезный входной сигнал. Таким образом, в отличие от синтеза оп­тимального порога обнаружения по критерию Неймана — Пирсона здесь требуется знание р₁ (W) в реальных условиях эксплуатации. На практика обычно корректируют порог по мере накопления необхо­димых сведений, либо задаются мо­делью сигнала на этапе проекти- рования средства измерений.

Пример 48. Реакция оптимального фильтра на помеху подчиняется нормированному нормальному закону распределения вероятности, а от­клик на полезный входной сигнал равен 1. Определить оптимальный порог обнаружения при заданном значении у.

Решение. Отношение правдоподобия

График этой функции построен на рис. 97, а. При L g оптимальная функ­ция решения F_opt (W) = 0, и принимается решение, что полезного сигнала нет. При L > g Оптимальная функция решения F_opt(W) = 1 принимается решение, что полезный сигнал есть (см. рис. 97, б) : Отсюда

Теория статистических решений используется также при конт­роле.

* В примерах 24. . .28 предполагается, что остальными факторами, влияющими на результат измерения, можно пренебречь.

Измерение параметров периодических процессов

Измерение параметров может представлять как самостоя­тельный интерес, так и проводиться с целью последующего восстановления сигнала. В том и в другом случае парамет­ры измеряются на выходе средства измерений, после чего могут пересчитываться на вход.

Периодическому входному сигналу соответствует и перио­дический отклик на него. Он может быть представлен диск­ретным спектром

из чего следует, что параметрами, подлежащими измерению и позволяющими полностью восстановить как отклик Х(t), так и (после пересчета их на вход) входной сигнал Q (t) яв­ляются постоянная составляющая

A₀ = = X(t) dt

спектры отклика.

На практике большей частью интерес представляет ампли­тудный спектр. Для выделения его составляющих исполь­зуются селективные фильтры с узкой полосой пропуска­ния. Примерами таких фильтров являются резонансные системы с сосредоточенными или распределенными постоян­ными, RC-фильтры, электромеханические и пьезоэлектри­ческие фильтры и т. п.

Составляющие спектра могут анализироваться одновре­менно, либо поочередно. Соответственно различают параллель­ный и последовательный спектральный анализ.

При параллельном спектральном анализе исследуемый сигнал подается одновременно на п селективных фильтров, на выходе каждого из которых измеряется амплитуда соот­ветствующей составляющей амплитудного спектра (см. рис. 98). Резонансные характеристики фильтров должны охватывать весь диапазон возможных частот, так что пере­крывают друг друга (рис. 99). В результате отклик на каж­дую составляющую появляется на выходе не одного, а нес­кольких фильтров. Это усложняет анализ и снижает его точ­ность. Кроме того, количество фильтров не может быть очень большим, что налагает ограничение на число анализируемых гармоник в спектре, а следовательно, опять-таки на точность спектрального анализа. Но главным недостатком является сложность многоканальных спектроанализаторов, возрастаю­щая еще более при введении дополнительных функциональных узлов с целью автоматизации измерений и обработки экспе­риментальных данных.

При последовательном спектральном анализе гармоники в спектре исследуемого сигнала анализируются поочередно путем перестройки селективного фильтра по частоте. Струк­турная схема такого анализатора спектра (см. рис. 100), принцип действия которого показан на рис. 101, могла бы быть очень простой, если бы перестройка фильтра в широком диапазоне частот не приводила к ухудшению его селективных свойств. Преодоление этого недостатка приводит к усложне­нию схемы, тем не менее последовательный анализ приме­няется гораздо чаще, чем параллельный.

Широкое применение находит измерение интегральных параметров выходного сигнала, перечисленных в предыдущем разделе (среднего, средневыпрямленного и среднего квадратического значения). При периодических процессах их боль­шим достоинством является то, что при меняющемся во времени сигнале эти параметры в стационарном режиме работы средства измерений остаются постоянными, что позволяет градуировать шкалы приборов методами, рассмотренными в разд. 4.5.1. Благодаря наличии» связи между параметрами, достаточно измерить любой из ниx для того, чтобы найти все остальные, если только известна форма сигнала. Для этого существуют таблицы, подобные табл. 22.

Таблица 22

Замечание 1. Отечественная промышленность вы­пускает аналоговые вольтметры, измеряющие либо ампли­тудное (пиковое), либо средневыпрямленное, либо среднее квадратическое значение напряжения. Однако шкалы всех их градуированы в средних квадратических значениях си­нусоидального напряжения, так как исторически измере­ние переменных напряжений было начато в электротехнике, где интересуются в первую очередь энергетическим уровнем напряжения. Поэтомупри измерении синусоидального напря­жения все вольтметры показывают среднее квадратическое значение. Исключение составляют импульсные вольтметры, шкалы которых градуированы в максимальных (пиковых) значениях.

Пример 50.При измерении синусоидального напряжения показа­ние вольтметра, измеряющего средневыпрямленное значение, равно 100 В. Чему равны интегральные параметры напряжения?

Ответ: U _ск = 100 В; U _m = U _ск · k _a = 141 В; U _св = U _ск / k_ф= 90 В.

Замечание 2. При измерении несинусоидального на­пряжения для перехода от показания вольтметра к значению измеряемого им параметра используются коэффициенты, приведенные в первой строке табл. 22.

Пример 51.При измерении несинусоидального напряжения вы­полняются условия предыдущего примера. Чему равны интегральные параметры напряжения?

Ответ: U _св = 100/1,11= 90 В. Остальные параметры определить невоз­можно, так как неизвестна форма напряжения и соответствующие ей коэффициенты k _a и k_ф.

Пример 52.Выполняются условия предыдущего примера, но изме­рение выполнено вольтметром; среднего квадратического значения. Чему равны интегральные показатели напряжения?

Ответ: t/ск = 100 В, Остальные параметры определить невозможно.

Пример 53.Выполняются условия двух предыдущих примеров, но измерение выполнено пиковым вольтметром. Чему равны интеграль­ные показатели напряжения?

Ответ: t/max =1,41 · 100 = 1в1 В. Остальные показатели определить невозможно.

Замечание 3. Если форма напряжения известна (т. е. известны соответствующие ей коэффициенты k _a и k_ф), то переход от измеренного интегрального показателя к ос­тальным осуществляется с помощью множителей, приведен­ных в табл. 23.

Таблица 23

К периодическим процессам относятся многие виды моду­лированных сигналов. Наиболее распространенными являют­ся показанные на рис. 102 амплитудная (и ее разновидность — импульсная), частотная и фазовая модуляции. Частота несу­щих колебаний обычно бывает известна, и интерес представ­ляют только параметры модуляции, по которым сигнал мо­жет быть полностью восстановлен. Разумеется, все они опре­деляются с помощью спектроанализатора, но для измере­ния некоторых существуют более простые методы. В ка­честве примеров рассмотрим измерение коэффициента амп­литудной модуляции и девиации частоты.

Амплитудно-модулированный сигнал при периодической модулирующей функции может быть представлен в виде

где Ω — частота первой гармоники модулирующего колеба­ния, а коэффициент амплитудной модуляции m_n= Х_nΩ / Х_m зависит от амплитуды п-й гармоники модулирующего коле­бания Х_nΩ . Наибольший. интерес обычно представляет зна­чение коэффициента амплитудной модуляции по первой гармонике m₁ = Х_Ω / Х_m . Помимо него, измеряют среднее значение, численно равное (см. рис. 102).

пиковые значения, определяемые как

и измеряемые раздельно „вверх" (+) и вниз (—) . В общем случае

а при тональной амплитудной модуляции (N = 1)

m₊ = m_ = m _cp = m₁ = m.

Легко видеть, что m _cp и m₊ , m_ определяются непосредст­венно по записи амплитудно-модулированного сигнала на ленте самописца или по осциллограмме. Если Х(t) — напря­жение (преобразованный в напряжение сигнал), то после его детектирования постоянная составляющая, пропорциональная средневыпрямленному значению напряжения, измеряется магнитоэлектрическим вольтметром, а пиковое значение пе­ременной составляющей — пиковым вольтметром с закрытым входом, переключая полярность которого, можно измерять ΔХ₊ и ΔХ_. Если входным аттенюатором установить и под­держивать показание магнитоэлектрического вольтметра рав­ным 1, то шкала пикового вольтметра может быть проградуирована прямо в значениях коэффициента модуляции. Поэто­му магнитоэлектрический вольтметр заменяют схемой авто­матической установки и стабилизации Х_m = 1.

где W — частота модуляции, а m_чм = Dω/W-индекс модуляции, пропорциональный девиации частоты Dω. Девиация часто­ты является основным параметром, характеризующим час­тотно-модулированный сигнал. Для ее измерения чаще всего используется частотное детектирование. Частотно-модулированный сигнал преобразуется частотным детектором в низко­частотное напряжение, амплитуда переменной составляющей которого, измеряемая пиковым вольтметром, пропорцио­нальна девиации частоты. Шкалу пикового вольтметра можно проградуировать прямо в единицах девиации частоты (обыч­но килогерцах).