Эмпирические формулы, содержащие три параметра.

В этом случае эмпирические формулы в общем виде записываются так

y = f(x; a,b,c),

где a, b и с – некоторые постоянные.

Первой формулой с тремя параметрами является квадратическая зависимость

y= ax² + bx + c. (4.21)

Критерий проверки экспериментальных данных на зависимость (4.21) существует. Но он строится с таки громоздкими расчётами и составлением сложной таблицы, что легче по экспериментальным данным построить кривую, как мы это уже делали, и убедиться, похожа ли она на зависимость (4.21).

Рассмотрим степенную зависимость вида

y = ax^b + c (4.22)

Отсюда y – c = ax^b. Логарифмируя это выражение получим

lg (y – c) = lg a +b lg x.

Полагая lg (y - c) = Y и lg x = X, получим линейную зависимость

Y = bX + lg a.

Определение параметров формулы (4.22) начнём с нахождения с. Для этого составим среднее геометрическое = , и, пользуясь графиком, построенным по исходным данным, или методом линейной интерполяции для , найдём соответствующее значение . Предполагая, что точки M₁(x₁, y₁), M_S(x_S, y_S), M_n(x_n, y_n) расположены на кривой (4.22), будем иметь три неравенства.

, , .

Возводя = в степень b и умножая на а, получим

a или y_s – c = .

Решим последнее уравнение относительно с.

= ; ;

c ( ) = ; c = .

После этого строим точки N_i(X_i, Y_i) , где X_i = lg x_i, Y_i = lg(y_i – c) (i = 1,2,…, n). Если эти точки располагаются близко к прямой линии, то зависимость (4.22) выбрана правильно. Причём, постоянные а и b находятся обычным способом.

Пример. Для переменных х и у дана таблица 12

Таблица 12

Найти эмпирическую формулу, связывающую эти переменные коэффициентами a,b и с.

Решение. Построим эмпирическую формулу вида:

y = ax^b + c.

Находим

.

На графике, если его построить, этому значению соответствует = 0,507. Отсюда

c = .

Остальные параметры а и b найдём методом средних.

Составляем начальное уравнение с учетом, найденного значения с.

lg (y_i – 0,048) = lg a + b lg x_i, (i = 1,2,…,6)

Тогда будем иметь систему уравнений

-1,2840 = lg a+ 2,3979b; 0,1245 = lg a + 3,0792b;

-0,6345 = lg a + 2,6990b; 0,4000 = lg a + 3,2041b;

-0,1238 = lg a + 2,9542b; 0,6077 = lg a + 3,3010b;

Группируя эти уравнения по три, получим

.

Вычитаем из первого уравнения второе: -3,1745 = 1,5332b; b = 2,071.

.

Таким образом, искомая эмпирическая формула будет иметь вид.

y = 5,75 · 10^-7x^2,071 + 0,048.

Рассмотрим показательную зависимость

y = ae^bx + c (4.23)

Перенося слагаемое с влево и логарифмируя, получим

lg (y - c) = lg a + bxM,

где M = lg e = 0,434.

Таким образом,

Y = lg a + bMx, (4.24)

где y = lg(y – c).

Определим параметр с. Для этого, как и в предыдущем случае, выберем крайние точки M₁(x₁, y₁) и M_n(x_n, y_n) и составим среднее арифметическое

Для найдём соответствующее (или из чертежа, или линейной интерполяцией). Представляя эти значения в эмпирическую формулу (4.23), будем иметь

; ; .

Отсюда ; ; . Следовательно

( )( ) = ; ( = ;

( )( ) =( .

Получим точно такое же уравнение, как и в предыдущем случае.

Поэтому с запишем в таком же виде

с = .

Если обнаружена линейная зависимость (4.24), то остальные параметры а и b находятся обычными приёмами.

Пример. Дана таблица 13

Таблица 13

Найти эмпирическую формулу. Будем её искать в виде

y = ae^bx + c.

сначала найдём = = 0,5. Этому значению в данной таблице соответствует значение = 2,19. Отсюда

с = = 0,258.

Параметры а и b определяем по методу средних. Для этого запишем

lg (y_i – 0.258) = lg a + bMx_i, (i = 1,2,…,10).

Составим две системы уравнений

Подставив значения x_i и y_i и приведя подобные члены, получим систему двух уравнений

Решая эту систему найдём: а = 1,044; b = 1,234. Следовательно, эмпирическая формула имеет вид

у = 1,044е^1,234х+0,258.