Формулы с двумя параметрами

Если задана какая-то таблица с экспериментальными данными x_j и y_j и нет никакой дополнительной информации, то определение вида эмпирической формулы представляет собой трудную задачу. Рассмотрим сначала случай, когда эмпирическая зависимость определяется формулой с двумя параметрами a и b, то есть

y = f (x; a,b) (4.13)

Если окажется, что

(4.14)

то искомая зависимость линейная, т.е.

y = ax + b₁ (4.15)

и задача легко решается.

Другим простым случаем является определение квадратичной зависимости

y = ax² + b (4.16)

путём построения графика на полуквадратической системе координат, на которой парабола (4.16) представляется прямой линией, а коэффициенты a и b легко находятся рассмотренными выше способами.

Рассмотрим общий случай, когда соотношение (4.13) не сводиться к формулам (4.15) и (4.16). Получим необходимое условие существования эмпирической зависимости вида (4.13) для заданной системы точек (x_i, y_i). Пусть M_i(x_i, y_i), M_j(x_j, y_j), M_k(x_k, y_k) три точки значений из нашей совокупности. Предполагая, что кривая (4.13) проходит через точки M_i, M_j и M_k, будем иметь

y_i = f(x_i; a, b), y_j = f(x_j; a, b), y_k = f(x_k; a, b) (4.17)

Исключая из системы (4.17) параметры a и b, получим соотношение вида

Ф(x_i, x_j, x_k, y_i, y_j, y_k) = 0. (4.18)

Выполнение равенства (4.18) для любых значений i, j, k ( ) необходимо для существования зависимости (4/13). Проверка соотношения (4.18) связана с трудоёмкими вычислениями, поэтому на практике ограничиваются одной тройкой точек: начальной (x₁, y₁), промежуточной (x_S, y_S) и конечной (x_n, y_n). Точку M_S выбирают так, чтобы соотношение (4.18) было по возможности простым. Иногда точку M_S выгодно брать не принадлежащую нашему ряду точек, тогда координаты x_S, y_S определяются интерполированием.

Пример. Получить необходимое условие для существования степенной зависимости

y = ax^k, (4.19)

предполагая, что x_i > 0, y_i > 0 (i=1,2,…, n).

Решение. Выберем

x_S = .

Из формулы (4.19) имеем

y₁ = ax^b; y_S = a = a , y_n = a (4.20)

Исключая из соотношения (4.20) параметры a и b получим

y₁y_n = a = a²

а от сюда следует, что y₁y_n = , т.е. .

Таким образом, для существования степенной зависимости (4.19) необходимо, чтобы среднему геометрическому x_S значений х₁ и х_n соответствовало среднее геометрическое y_S значение y₁ и y_n. Если x_S не является табличным, то соответствующее значение y_S определяется с помощью интерполирования.

Далее мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости.

1. y = ax + b;

2. y = ax^b;

3. y = ab^x;

4. y = a + ;

5. y = ;

6. y =

7. y = a ln x + b.

Аналогично тому как это было сделано выше в примере для существования зависимостей 1–7 можно вывести простые необходимые условия: и , где и . При этом предполагается, что х_i > 0 и у_i > 0. Эти выражения для и приведены в таблице 9.

Таблица 9

№			Вид эмпирической формулы	Способ выравнивания
1.	(среднее арифметическое)	(среднее арифметическое)	y = ax + b
2.	(среднее геометрическое)	(среднее геометрическое)	y = ax2	Y = α + bX, где X = lgx, Y=lgy, α = lga.
3.			y = abx или y = ae	Y = α + x, где β = lgb, Y=lgy, α = lga.
4.			y = a +	Y = ax + b, где Y = xy
5.			y =	Y= ax + b, где Y =
6.			y =	Y= ax + b, где Y =
7.			y = a ln x + b	Y = ax + b, где y = lgx

Приведённая таблица 9 облегчает выбор эмпирической формулы среди указанных. Для проверки пригодности определённой эмпирической формулы, пользуясь исходными данными, находим значение и табличное значение и сравниваем его со значением ψ( ) = . Предпочтительнее та формула, для которой расхождение наименьшее.

Если значение ψ( ) = не находятся среди исходных данных x_i, то отвечающее ему значение можно определить посредством линейной интерпретации

= + ( - ),

где и – промежуточные значения, между которыми находиться .

Следует иметь ввиду, что описанный подход является грубо ориентированным, так как мы не учитываем поведение всех промежуточных точек ( ). Кроме того, приведённая таблица эмпирических функций охватывает небольшое количество зависимостей и может случиться, что переменные х и у подчинятся некоторой закономерности, не вошедшей в наш список.

Следует так же учесть, что функции 1–7 монотонные, и, следовательно отвечающие им упорядоченные данные ( ) при ∆x_i = x_i+1 – x_i > 0 (i = 1,2,…,n-1), должны обладать постоянным знаком приращения . Если это условие не выполняется, то зависимости 1–7 не могут использоваться в качестве эмпирических формул.

Пример. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице 10.

Таблица 10:

Решение. Будем искать эмпирическую формулу среди зависимостей 1–7, приведённых в таблице 9. Результаты вычислений приведены в таблице 11, из которой следует, что нужно выбрать степенную зависимость

y = ax^b.

Таблица 11

№				( … )	Вид формулы
1.		=53,35	50,5	2,85	y = ax + b мало подходит
2.		= = 47,7	48,7	1,0	y = axb – подходит лучше других формул
3.		= 47,7	50,5	2,8	y = axb – мало подходит
4.			46,9	6,45	y = a + не подходит
5.			50,5	7,9	не подходит
6.			46,9	4,3	y = - не подходит
7.			48,7	4,65	y=a lnx+ b не подходит