Квадратичное приближение

Если точечный график похож на параболу, то эмпирическую формулу ищем в виде квадратного трехчлена. Предположим, что приближающаяся кривая похожа на параболу , симметричную относительно оси ординат. Тогда парабола примет более простой вид

(4.4)

Возьмем полуквадратичную систему координат. Это такая система координат, у которой по оси абсцисс шкала квадратичная, т. е. значения делений откладываются согласно выражению , здесь m – масштаб в каких-либо единицах длины, например, в см.

По оси ординат откладывается линейная шкала в соответствии с выражением

Нанесем на эту систему координат опытные точки. Если точки этого графика располагаются приблизительно по прямой, то это подтверждает наше предположение, что зависимость y от x хорошо выражается функцией вида (4.4). Для отыскания коэффициентов a и b можно теперь применить один из рассмотренных выше способов: способ натянутой нити, способ выбранных точек или способ средней.

Способ натянутой нити применяется также, как и для линейной функции.

Способ выбранных точек можем применить так. На прямолинейном графике возьмем две точки (далекие друг от друга). Координаты этих точек обозначим и (x, y). Тогда можем записать

Из приведенной системы двух уравнений найдем a и b и подставим их в формулу (4.4) и получим окончательный вид эмпирической формулы.

Можно и не строить прямолинейного графика, а взять числа , (x,y) прямо из таблицы. Однако полученная при таком выборе точек формула будет менее точна.

Процесс преобразования криволинейного графика в прямолинейный называется выравниванием.

Способ средней. Он применяется аналогично как в случае с линейной зависимостью. Разбиваем опытные точки на две группы с одинаковым (или почти одинаковым) числом точек в каждой группе. Равенство (4.4) перепишем так

(4.5)

Находим сумму невязок для точек первой группы и приравниваем нулю. То же делаем для точек второй группы. Получим два уравнения с неизвестными a и b. Решая систему уравнений, найдем a и b.

Заметим, что при применении этого способа не требуется строить приближающую прямую. Точечный график в полуквадратичной системе координат нужен только для проверки того, что функция вида (4.4) подходит для эмпирической формулы.

Пример. При исследовании влияния температуры на ход хронометра получены следующие результаты:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

При этом нас интересует не сама температура, а ее отклонение от . Поэтому за аргумент примем , где t – температура в градусах Цельсия обычной шкалы.

Нанеся на декартову систему координат соответствующие точки, замечаем, что за приближающую кривую можно принять параболу с осью, параллельной оси ординат (рис.4). Возьмем полуквадратичную систему координат и нанесем на нее опытные точки. Видим, что эти точки достаточно хорошо укладываются на прямой. Значит, эмпирическую формулу

можно искать в виде (4.4).

Определим коэффициенты a и b по методу средней. Для этого разобьем опытные точки на две группы: в первой группе – первые три точки, во второй – остальные четыре точки. Используя равенство (4.5) находим сумму невязок по каждой группе и приравниваем каждую сумму нулю.

400a+b–2,60+237,16a+b–2,01+81a+b–1,94 = 718,16+3b = 6,04.

29,16a+b–1,08+0,36a+b–0,94+23,04a+b–1,06+88,36a+b–1,25=140,92a+4b=4,33.

В результате имеем такую систему уравнений

Решая эту систему, получим такую эмпирическую формулу