Способ итераций

В ряде случаев более удобным способом решения уравнений является способ итераций (повторений). Для применения этого способа исходное уравнение ƒ(c)=0 нужно представить в форме

х = φ(х) (2.7)

Это всегдаможно сделать, и при том многими способами. Например, уравнение х³ - 2х - 5 = 0 можно заменить следующими равносильными уравнениями:

Пусть каким-либо способом выделен интервал [а,b], в котором находится значение корня уравнения, и х₀ – любая точка этого интервала. Будем считать х₀ нулевым приближением. Подставим х₀ в правую часть уравнения (2.7) и получим первое приближение

x₁ = φ(x₀).

Значение х₁, снова подставим в уравнение (2.7), получим второе приближение х₂ = φ(х₁). Аналогичным способом находим х₃ = φ(х₃), х₄ = φ(х₄) и т. д. Этот процесс можно продолжать неограниченно, получая последовательность чисел х₀, х₁, х₂, ..., х_n , … Если эта последовательность имеет предел lim_n→∞ х_n= х^*, то х^* является корнем уравнения (2.7). В самом деле предполагая, что φ(х) – непрерывная функция, получим

Однако может случится, что последовательность х₀, х₁, х₂, ..., х_n , … не имеет предела и даже расходится, тогда этот способ не применим.

Представляет большой интерес выяснить условия, при которых итерационный процесс сходится. Эти условия вытекают из следующей теоремы.

Теорема. Пусть интервал [а, b] является интервалом, в котором находится только один корень уравнения х = φ(х) и во всех точках этого интервала производная φ’(х) удовлетворяет неравенству.

|φ(х)|≤ М < 1(2.8)

Если при этом выполняется условие а ≤ φ(х) ≤ b, то итерационный процесс сходится, причем за нулевое приближение х₀ можно взять любую точку интервала [а, b].

Пример. Дано уравнение х³ + 12х – 2 = 0. Найти один положительный корень. Выделим интервал, в котором содержится один корень. Результаты представим в табл. 2.

Таблица 2

Из приведенной таблицы следует, чтоуравнение имеет значение корня, заключёное между0,1и0,2.Для уточнения корня применим способ итераций. Представим заданноеуравнение в виде(2.7),что удобно для применения этого способа, а именно:

(2.8)

Примемза начальное приближение х₀=0,16 и будемвычислять последовательные приближения, подставляя ихв(2.8) предыдущие приближенные значения корня. В результате получим:

х₀ = 0,1600,

х₁ = 0,16628 0,1663,

х₂ = 0,1663.

Видим, что приближенияx_t и х₂ совпадают. При дальнейшем вычислении будем получать одно и то же число. Поэтому на втором приближении процесс закончим. При возрастании номера члены последовательности приближаются к истинному значению корня , т.е. полученное приближение является приближенным значением с недостатком. Причем х₂=0,1663 есть искомое приближенное значение корняс четырьмя десятичными знаками.

Поясним геометрически способ итераций. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = φ(х). Каждый действительный корень х^* уравнения (2.7) является абсциссой точки пересечения М кривой у = φ(х) с прямой у = х – рис. 2.3.

Отправляясь от некоторой точки А₀[х₀, φ(х₀)], строим ломаную линиюА₀ В₁ А₁ В₂ А₂ ... («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и Оу. Вершины А₀ А₁ А₂,... лежат на кривой у = φ(х), а вершиныВ₁, В₂ на прямой y = х. Общие абсциссы точек A₁ иB₁, А₂ иВ₂, и т.д., очевидно, представляют собой последовательные приближения x₁, x₂ ,... корня х^*.

Рис.2.3

Возможен и другой (рис. 2.4) вид ломаной («спираль»). Легко догадаться, что решение в виде «лестницы» получается, если производная φ'(х) положительна, а решение в виде «спирали» - если φ'(х) отрицательна.

Рис 2.4

На рис. 2.3 кривая у= φ(х) в окрестности корня х^* пологая, т. е. |φ'(х)| < 1, и процесс итерации сходится. Однако для случая |φ'(х)| > 1 процесс может быть расходящимся (рис. 2.5).

Итерационный процесс нахождения приближенного значения корня сходится на интервале [а, b], если, согласно выше приведенной теореме, выполняются условия (2.8). При этом Оценку погрешности последовательных приближений дает формула

|х^* - х_п| < (b- а)М^п.

Рис 2.5