Общие соображения

Далеко не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных (от лат. transcendens – перешагивающий, выходящий за пределы) уравнений (такие уравнения содержат трансцендентные функции – показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические). То есть в этих уравнениях неизвестная величина х находится под знаком трансцендентной функции, например, sin(х), 10^х. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольное алгебраическое уравнение в степени выше четвертой [7].

Однако точное решение уравнения не всегда является обязательным. Задача отыскания корней уравнения может считаться фактически решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.

Большинство применяемых приближенных способов решения уравнений являются способами уточнения корней, т.е. для их применения необходимы примерные значения корня. Для этой цели могут служить графические способы.

Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид

ƒ(х) = 0(2.1)

Построим в декартовой системе координат схематический график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения построенной кривой с осью Ох дадут нам значения действительных корней уравнения (2.1).

После того как схематический график построен и примерно выделены участки оси абсцисс, в которых будут лежать корни функции (этот процесс называется отделением корней), приступают к уточнению значений корней.

Существует много аналитических способов уточнения значений корней. Все эти способы имеют одно общее свойство, состоящее в том, что нам должен быть известен интервал [а, b], в котором лежит уточняемый корень уравнения. Выбор этого интервала производится на основании известного свойства непрерывных функций: если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)·f(b) < 0, то между точками а и b имеется хотя бы один корень уравнения f(x)= 0.

Для уточнения значения корня нужно производить сужение интервала [а, b]. Делать это можно следующим образом. Выбираем какую-либо точку с, лежащую внутри интервала [а, b] (обычно за точку спринимают середину отрезка [а, b]), и вычисляем значение f(c). В качестве нового интервала мы примем ту из этих двух половинок интервала [а, b], на концах которого функция имеет разные знаки.

Таким путем можно получить приближенное значение корня с любой степенью точности. Вместе с тем мы получаем и оценку точности приближенного решения. Однако, несмотря на принципиальную простоту, такой подход на практике не всегда используется, так как часто требует слишком большого количества вычислений; поэтому мы рассмотрим другие способы уточнения корня. В случае применения этих способов необходимо, чтобы на рассматриваемом интервале [а, b]функция f(x) удовлетворяла следующим условиям:

1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]вместе со своими производными первого и второго порядков;

2) значения f(x) на концах отрезка [а, b]имеют разные знаки;

3) первая и вторая производные сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Эти условия гарантируют, что корень уравнения (2.1) содержится интервале и других корней в этом интервале не имеется.