Лекция 11 Электростатика

1. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора. Теорема Гаусса. Потенциал. Связь потенциала с напряженностью электростатического поля.

2. Конденсаторы. Емкость конденсаторов различной геометрической конфигурации. Энергия заряженного конденсатора и системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии электростатического поля.

Тезисы

1. Закон взаимодействия неподвижных то­чечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Ш. Кулоном. Точечным на­зывается заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до дру­гих заряженных тел, с которыми он взаи­модействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физи­ческой абстракцией. Взаимодействие электрических зарядов описывает закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, про­порциональна зарядам Q₁ и Q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними ; в этой формуле . Тогда , где F₁₂— сила, действующая на заряд Q₁ со стороны заряда Q₂, r₁₂ — радиус-век­тор, соединяющий заряд Q₂ с зарядом Q₁, r= |r₁₂|, e₀ - электрическая постоянная; она относится к числу фунда­ментальных физических постоянных и равна 8,85•10^-12Кл²/(Н•м²), или Ф/м. Тогда 1/(4pe₀) = k = 9•10⁹м/Ф.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая вели­чина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, по­мещенный в эту точку поля: Напряженность поля точечного заряда в вакууме или

Единица напряженности электростати­ческого поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля. Линии напряжен­ности — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е. Принцип су­перпозиции: напряжен­ность результирующего поля, создавае­мого системой зарядов, равна геометриче­ской сумме напряженностей полей, со­здаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

2. Ве­личина называется потоком вектора напряженно­сти через площадку dS. Здесь dS == dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направ­лением нормали n к площадке. Единица потока вектора напряженно­сти электростатического поля— 1 В•м. Для произвольной замкнутой повер­хности S поток вектора Е через эту по­верхность

1. Напряженность поля на продолже­нии оси диполя в точке А

2. Напряженность поля на перпенди­куляре, восставленном к оси из его середи­ны, в точке В , где r'— расстояние от точки В до середи­ны плеча диполя.

Теорема Га­усса для электростатического поля в ваку­уме: поток вектора напряженности элек­тростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность ра­вен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, делен­ной на e₀: или Объемная плотность заряда , поверхностная плотность заряда , линейная плотность заряда

Применение теоремы Гаусса

к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

3) Поле равномерно заряженной сфериче­ской поверхности , где r ≥R

4) Поле объемно заряженного шара , где r^/ ≤ R.

5) Поле равномерно заряженного бесконеч­. цилиндра (нити) , где r ≥ R

3. Рабо­та, совершаемая при перемещении элек­трического заряда во внешнем электроста­тическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю. Тогда , где интеграл - называется циркуляцией вектора напряженности. Циркуляция вектора напряжен­ности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю.

Работа сил электростатического поля Потенциальная энергия заряда Q₀, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него

Потенциал в какой-либо точке элек­тростатического поля есть физическая ве­личина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного за­ряда, помещенного в эту точку Потенциал поля точечного заряда

Работа, совершаемая силами элек­тростатического поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 Разность потенци­алов в электростатиче­ском поле определяется работой, соверша­емой силами поля при перемещении единичного положительного заряда. Еди­ница потенциала — вольт (В). Если поле создается несколькими за­рядами, то потенциал поля системы за­рядов равен алгебраической сумме потен­циалов полей всех этих зарядов:

Напряженность поля равна гради­енту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор на­пряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала

Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

1) Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х₁, и x₂от плоскости

2) Разность потенциа­лов между плоскостями, расстояние между ко­торыми равно d:

3) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂от центра сферы (r₁>R, r₂>R)

4) Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

Для графического изображения рас­пределения потенциала пользуются эквипотенциальны­ми поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Линии напряженности всегда нормаль­ны к эквипотенциальным поверхностям. Работа поля по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна ну­лю.

2.Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединённого проводника величину называют электроёмкостью уединённого проводника. Ёмкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Единица электроёмкости – фарад (Ф); 1Ф – ёмкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1Кл.

Потенциал шара радиуса шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен , отсюда электроёмкость шара . Из формулы вытекает также, что единица электрической постоянной фарад на метр (Ф/м) .

На практике необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой ёмкостью. Эти устройства получили название конденсаторов. Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (диэлектрике) заряды, причём ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, ослабляют поле, понижают потенциал, повышают его электроёмкость.

Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: две плоские пластины; два коаксиальных цилиндра; две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноимёнными зарядами.

Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками: Ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q:

Емкость конденсаторов различной геометрической конфигурации.

1)Электроёмкость цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами и , вставленных один в другой: 2)Электроёмкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделённых сферическим слоем диэлектрика: Вывод: ёмкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает ёмкость конденсаторов.

Для увеличения ёмкости и варьирования её возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используются их параллельное и последовательное соединения. У параллельно соединённых конденсаторов ёмкость батареи , т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. При последовательсном соединении конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные ёмкостям.

Диэлектрики— тела, в которых практиче­ски отсутствуют свободные заряды. Так как поло­жительный заряд всех ядер молекулы ра­вен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтраль­на. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре «тяжести» положи­тельных зарядов, а заряд всех электро­нов — суммарным отрицательным заря­дом -Q, находящемся в центре «тя­жести» отрицательных зарядов, то моле­кулу можно рассматривать как электриче­ский диполь с электрическим моментом. Внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электриче­ское поле приводит к возникновению от­личного от нуля результирующего элек­трического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называет­ся процесс ориентации диполей или по­явления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей. Соответственно трем группам диэлек­триков различают три вида поляризации: электронная по­ляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникно­вении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации элек­тронных орбит; ориентационная, или дипольная, поля­ризация диэлектрика с полярными молеку­лами, заключающаяся в ориентации име­ющихся дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность элек­трического поля и ниже температура; ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отри­цательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

Поляризованность - дипольный момент единицы объема ди­электрика Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то , где c — диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства ди­электрика; c — величина безразмерная; притом всегда c>0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) состав­ляет несколько единиц (хотя, например, для спирта c»25, для воды c=80). Результирующее поле внутри диэлектрика . Безразмерная величина e=1+c называется диэлектрической проницаемо­стью среды. Она показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, характе­ризуя количественно свойство диэлект­рика поляризоваться в электрическом поле.

Вектор элек­трического смещения или Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м²). Аналогично, как и поле Е, полеD изо­бражается с помощью линий электриче­ского смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находят­ся связанные заряды, линии вектора D про­ходят не прерываясь.

Теорема Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике: поток вектора смещения электроста­тического поля в диэлектрике сквозь про­извольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внут­ри этой поверхности свободных электриче­ских зарядов:

Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия системы двух неподвижных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находящихся на расстоянии друг от друга: . В случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна , где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-гo.

Энергия заряженного конденсатора

Энергия электростатического поля

Объемная плотность энергии электростатического поля

(энергия единицы объема)