Математические модели на макроуровне

Большинство технических подсистем характеризуется фазовыми переменными. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой. Ниже приводятся в качестве примера электрическая и механическая подсистемы.

Электрическая подсистема

Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

Уравнение сопротивления (закон Ома) I = U/R, где R — электрическое сопротивление.

Уравнение емкости I = C(dU/dt), где С — электрическая емкость.

Уравнение индуктивности U = L(dI/dt), где L — электрическая индуктивность.

Механическая поступательная система

Фазовые переменные механической поступательной подсистемы — силы F и скорости V — соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

Уравнение вязкого трения F = V/RM, где RM = 1/k — аналог электрического сопротивления; к — коэффициент вязкого трения.

Уравнение массы (уравнение второго закона Ньютона) F = mа = См (dV/dt), где а = dV/dt — ускорение; См = m — аналог электрической емкости (масса элемента).

Уравнение пружины F = kх, где х — перемещение; k — жесткость пружины.

Продифференцируем обе части уравнения по времени: dF/dt = kV, или V = LM(dF/dt), где LM = 1/k — аналог электрической индуктивности.

Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость, т.е. Р = Е(Δl/l), где Р — напряжение в элементе; Е — модуль Юнга; l — длина элемента; А1 — изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадь S поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим d(PS)/dt = (ESA)(dΔl/dt); d(Δl)/dt = V; PS = F; dF/dt = (ES/I)V, или V=LM=(dF/dt); LM = 1/(ES).

Механическая вращательная подсистема

Фазовые переменные этой подсистемы — моменты сил М и угловые скорости ω — соответственно, аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

Уравнение вязкого трения вращения М = ω/Rвр, где Rвр – 1/k — аналог электрического сопротивления; k — коэффициент трения вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения М = J(dω/dt), где J — аналог электрической емкости (момент инерции элемента).

Уравнение кручения бруса с круглым поперечным сечением М = GJpθ, где М — крутящий момент; G — модуль сдвига; Jp — полярный момент инерции сечения; θ = d/dl — относительный угол закручивания.

Рассмотрим брус конечной длины, тогда θ = /l, где — угол закручивания; l — длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е. dM/dt – (GJр/l)(d/dt), или если учесть, что (d/dt) = ω и Lвр = l/(GJp), то ω = Lвр (dM/dt), где Lвр — аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).

Аналогичное компонентное уравнение можно получить для спиральной пружины, М = с, где с — жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим ω = Lвp(dM/dt); Lвp = l/c.