Умови геометричної незмінюваності стержневих систем

З'ясування того, чи є система геометрично незмінною, умов, що забезпечують цю незмінюваність, а також ролі окремих елементів у роботі всього спорудження становить суть кінематичного аналізу, що завжди повинен передувати розрахунку.

Стержневими системами називаються системи, що складаються з окремих, частіше прямолінійних, стержнів, з'єднаних між собою у вузлах (за допомогою зварювання, болтів, заклепок і т.д.).

Одним з видів таких систем є плоскі ферми. У більшості випадків з'єднання стержнів у вузлах ферми є жорсткими; точний розрахунок такої системи досить складний через те, що вона є багаторазово статично невизначеною системою. Однак експериментальні й теоретичні дослідження показують, що при достатній довжині стержнів заміна жорстких з'єднань шарнірними істотно не впливає на величини зусиль у стержнях. Розрахунок же при цьому різко спрощується й за певних умов може бути виконаний за допомогою одних лише рівнянь статики.

Якщо замінити жорсткі вузли системи, що складається із трьох стержнів (рис.1.3,а), шарнірними (рис.1.3,б), то система залишиться геометрично незмінною. Але якщо теж саме виконати із системою, що складається із чотирьох стержнів (рис.1.3,в), то отримана система (рис.1.3,г) стане геометрично змінюваною, тому що її форма може змінюватися й без деформації елементів.

Рис.1.3

Система, що складається із трьох стержнів, з'єднаних шарнірами в трикутник, є найпростішою геометрично незмінною системою (рис.1.3,б).

Системи, отримані з такого шарнірного трикутника шляхом послідовного приєднання вузлів, причому кожного двома стержнями, що не лежать на одній прямій, також будуть геометрично незмінними (рис.1.4).

Рис.1.4

Встановимо залежність між числом вузлів і числом стержнів, необхідних для одержання найпростішої геометрично незмінної ферми.

Нехай S – число стержнів ферми, а – число вузлів. Основний трикутник, на базі якого побудована ферма (заштриховані області на рис.1.4), має три вузли й три стержні, а кожний з інших вузлів, що приєднуються, у кількості прикріплюється двома стержнями. Отже, повне число стержнів у найпростішій геометрично незмінній фермі

або

(1.1)

Якщо , то система геометрично змінювана; якщо , то система може бути геометрично незмінною. Це варто розуміти так, що співвідношення є необхідним, але недостатньою умовою геометричної незмінюваності ферми. Наприклад, ферми на мал.1.5, є геометрично змінюваними, хоча для правої з них (рис.1.5,а) , а для другої (рис.1.5,б) . Змінюваність цих ферм пояснюється тим, що праві їхні частини - шарнірні чотирикутники.

Рис.1.5

Слід також зазначити, що стержневі системи, що задовольняють умові , можуть бути миттєво змінюваними.

Розглянемо приєднання геометрично незмінної системи до землі за допомогою опор. Найчастіше спорудження (диск) опирається на дві шарнірні опори (рухому й нерухому, рис.1.6,а), але можливе обпирання й на три шарнірно рухомі опори (рис.1.6,б). Таке обпирання можливо лише в тому випадку, коли осі цих стержнів не перетинаються в одній точці й не паралельні один одному.

Рис.1.6

Стосовно до випадку з'єднання двох будь-яких геометрично незмінних систем (дисків) можна сформулювати правило: два диски утворять геометрично незмінну систему, якщо вони зв'язані між собою трьома стержнями, осі яких не перетинаються в одній точці й не паралельні один одному.

До диска можна також геометрично незмінно приєднати інший диск за допомогою загального для обох дисків шарніра й стержня, напрямок якого не повинен проходити через цей шарнір.

З'єднання трьох дисків в одну загальну геометрично незмінну систему можна здійснити, з'єднавши їх у трикутник за допомогою трьох шарнірів, не розташованих на одній прямій (рис.1.7,а), або за допомогою шести стержнів (рис.1.7,б), тому що кожний шарнір можна замінити двома стержнями, що перетинаються в цьому шарнірі.

Рис.1.7