Расчетные формулы каскада в области средних частот.

Заменив Е_г на mU_вх и R_г на внутреннее сопротивление полевого транзисторав точке покоя R_iт.п,из эквивалентной схемы для средних частот (см. рис. 2.4.5 б) нетрудно найти коэффициент усиления напряжения резисторного каскада с полевым транзистором К, равный отношению выходного напряжения каскада к входному в области средних частот:

. (2.4.5)

Для полевых транзисторов полученное выражение неудобно, так как m у них очень сильно зависит от положения рабочей точки и найти его трудно; заменив в (2.4.5) m на S_т.пR_iт.п, где S_т.п — статическая крутизна характеристики тока стока в точке покоя, получим:

, (2.4.6)

где R_экв.в — сопротивление эквивалентного генератора на верхних частотах и, как показано выше, равное параллельному соединению R_i.е.пR_~, а следовательно, параллельному соединению R_iт.п, R и R₀. Так как в каскадах с полевыми транзисторами R_iт.п>>R_~, то в знаменателе формулы (2.4.6) можно пренебречь величиной R_~ по сравнению с R_iт.п и получить:

. (2.4.7)

Этим выражением обычно и пользуются для расчета коэффициента усиления резисторных каскадов с полевыми транзисторами, так как определение статичес­кой крутизны характеристики S_т..п в точке покоя графически за­труднений не представляет.

Ко­эффициент усиления промежуточных широкополосных каскадов с полевыми транзисторами рассчитывают по еще более простой формуле:

(2.4.8)

При расчете каскадов с биполярными транзисторами обычно пользуются не коэффициентом усиления напряжения, а коэффициентом усиления тока К_т, представляющим собой отношение тока сигнала в базе следующего каскада I_Бтсл к току сигнала I_Бт в цепи базы рассчитываемого каскада (см. рис. 2.4.1а):

(2.4.9)

где R_{вх.тр.сл} — входное сопротивление транзистора следующего каскаде, a R_~ — сопротивление нагрузки цепи коллектора рас­считываемого каскада для тока сигнала, равное согласно форму­ле (2.4.3) параллельному соединению R, R_{вх.тр.сл} и R_д.сл.

Если требуется определить коэффициент усиления напряжения резисторного каскада с биполярным транзистором, то достаточно поделить U_вых.т на U_вх.т=I_вх.тR_вх.тр или помножить К_т на отно­шение входных сопротивлений каскадов:

(2.4.10)

Из эквивалентной схемы для нижних частот, изображенной на рис. 2.4.5а, находят уравнение частотной характеристики резисторных каскадов для этих частот, пред­ставляющее собой зависимость относительного усиления Y от час­тоты сигнала, или обратную зависимость коэффициента частот­ных искажений M=1/Y от частоты:

; (2.4.11)

. (2.4.12)

Здесь f — частота, на которой определяют относительное усиле­ние или коэффициент частотных искажений; R_экв.н и R₀ определены ранее для каскадов при анализе эквивалентной схемы на низших частотах.

Выражение (2.4.11) показывает, что относительное усиление Y резисторного каскада на низших частотах изменяется от 0 до 1 при изменении частоты сигнала от 0 до ∞.

Положив в (2.4.12) М=М_н, f = f_н и решив результат относительно С, получим формулу для расчета необходимой емкости конден­сатора межкаскадной связи по допустимому коэффициенту час­тотных искажений М_н на низшей рабочей частоте f_н:

. (2.4.13)

Уравнение частотной характеристики для области высших час­тот рабочего диапазона транзисторного и лампового резисторных каскадов, представляющее собой зависимость относительного уси­ления Y от частоты, а также обратную зависимость коэффициента частотных искажений М=1/Y от частоты, находят из эквивалент­ной схемы резисторного каскада для высших частот, изображенной на рис. 2.4.5в.

; (2.4.14)

. (2.4.15)

Сопротивление R_экв.в на основании сказанного ранее для лам­пового резисторного каскада представляет собой параллельное соединение R_i, R и R_gсл:

;

, (2.4.16)

а во второй формуле (2.4.16) относящейся к транзисторному резисторному каскаду, работающему на биполярный транзистор, для которого почти всегда R_r>>R:

.

Из-за влияния r_б.сл, входящего в эквивалентную схему рис. 2.4.3а, свойства и характеристики резисторных каскадов, работающих на входную цепь биполярного транзистора, сильно отличаются на очень высоких частотах от свойств и характеристик резисторных каскадов, работающих на вход полевого транзистора; на высоких частотах r_б.сл уменьшается и превращается в r_б, входящее в выражение (2.4.16).

Выражение (2.4.14) показывает, что относительное усиление ре­зисторного каскада на верхних частотах изменяется от 1 до 0 приизменении частоты сигнала от 0 (средние частоты) до ∞

Решив выражение (2.4.15) относительно R_экв.в, получим форму­лу, позволяющую найти по заданной верхней рабочей частоте f_в и коэффициенту частотных искажений М_в на этой частоте:

(2.4.17)

По найденному значению R_экв.вmax, используя соотношения (2.4.4) и (2.4.16), для достаточно высокочастотного тран­зистора следующего каскада можно выбрать сопротивления ре­зисторов схемы, обеспечивающие удовлетворение предъявленных к каскаду требований.

Вид фазовой характеристики резисторного каскада, изобра­женной на рис. 2.4.4 б, нетрудно пояснить по эквивалентным схе­мам рис. 2.4.5. Так, из эквивалентной схемы рис. 2.4.5 а видно, что на нижних частотах сопротивление цепи, подключенной к генератору сигнала, имеет емкостную и активную составляющие, а поэтому ток сигнала I в цепи опережает ЭДС эквивалентного генератора на угол φ, стремящийся к 90° при безграничном понижении час­тоты. Выходное напряжение резисторного каскада U_вых, равное произведению этого тока на R₀, также будет опережать ЭДС, а следовательно, и находящееся с ней в фазе входное напряжение на тот же угол. На верхних частотах, как видно из рис. 2.4.5 в, ток в цепи также опережает ЭДС эквивалентного генератора на угол, меньший 90°, так как цепь имеет активную и емкостную составля­ющие сопротивления. Но выходное напряжение, представляющее собой падение напряжения сигнала на емкости С₀, отстает на 90° от тока сигнала через эту емкость, а следовательно, отстает от ЭДС эквивалентного генератора, находящегося в фазе с ЭДС. В результате в области верхних частот у резисторного каскада угол сдвига фазы φ между выходным и входным напряжениями при безграничном повышении частоты стремится к 90°. Фазовая характеристика как транзисторного каскада на биполярном транзисторе, так и транзисторного каскада на полевом транзисторе в области нижних и верхних частот (соответствую­щая эквивалентным схемам рис.2.4.5)

;

. (2.4.18)

Отрицательное значение угла сдвига фазы в последней формуле свидетельствует о том, что на верхних частотах выходное напряжение отстает от входного.

На рис. 2.4.6в показано, как искажается форма прямоугольного импульса, усиливаемого резисторным каскадом; рассмотрим физические основы возникновения этих искажений, называемых переходными.

При подаче мгновенного скачка напряжения на вход резисторного каскада емкости С и С₀ от воздействия этого скачка заряжа­ются. Процесс заряда малой емкости С₀ происходит быстро, и напряжение на ней, являющееся выходным напряжением каскада, достигает установившегося значения через очень малый промежуток времени (рис. 2.4.6а); заряд этой емкости, а следовательно, и нарастание выходного напряжения происходят по экспоненци­альному закону. За это время разделительный конденсатор С, имеющий большую емкость, не успевает заметно зарядиться, и напряжение на нем в процессе заряда емкости С₀ можно считать равным нулю. Поэтому при рассмотрении процесса нарастания фронта выходного импульса в эквивалентной схеме каскада мож­но закоротить С, исключив тем самым его из схемы; при этом эк­вивалентная схема каскада превращается в эквивалентную схе­му для верхних частот.

Рис. 2.4.6. Переходные характеристики резисторного каскада:

а — в области малых времен; б, — в области больших времен; в — искажения одиночного прямоугольного импульса

По мере заряда конденсатора С выходное напряжение резис­торного каскада, равное разности напряжения скачка между точками М и Н (см. рис. 2.4.3 б) и напряжения на конденсаторе С, уменьшается, вследствие чего переходная характеристика каскада в области больших времен экспоненциально падает при увеличе­нии времени (рис. 2.4.6 б). Так как заряд конденсатора С занимает много большее время, чем заряд емкости С₀, то при рассмотрении процесса заряда конденсатора С емкость С₀ можно считать уже заряженной и удалить ее из схемы; в этом случае схема прев­ратится в эквивалентную схему для нижних частот. Отсюда сле­дует, что переходная характеристика каскада в области малых времен, определяющая его время установления и обусловленная в резисторном каскаде процессом заряда емкости С₀, определяет­ся эквивалентной схемой каскада для верхних частот, а переход­ная характеристика каскада в области больших времен, опреде­ляющая искажения вершины усиливаемых импульсов и обуслов­ленная в резисторном каскаде процессом заряда разделительного конденсатора С, определяется эквивалентной схемой каскада для нижних частот.

Из того, что переходная характеристика резисторного каскада в области больших и малых времен определяется теми же экви­валентными схемами для нижних и верхних частот, что и частот­ная и фазовая характеристики, следует:

1) частотная и фазовая характеристики каскада на верхних частотах определяют его переходную характеристику в области малых времен, а следовательно, его время установления и выб­рос;

2) частотная и фазовая характеристики каскада на нижних частотах определяют его переходную характеристику в области больших времен, а следовательно, и искажения вершины импуль­сов;

3) частотная и фазовая характеристики усилительного каска­да жестко связаны с его переходными характеристиками.

Эти правила справедливы для каскадов с любой схемой меж­каскадной связи.

Из-за искажений, вносимых емкостью С₀ и конденсатором С, одиночный прямоугольный импульс, прошедший через резистор­ный каскад, приобретает вид, показанный на рис. 2.4.6в.

Переходная характеристика в области больших времен, опре­деляемая процессом заряда конденсатора С через сопротивления R_экв.н+R₀ и представляющая собой монотонно падающую по эк­споненциальному закону кривую (рис. 2.4.6 б), стремится к ну­лю при неограниченном возрастании времени t и определяется уравнением:

, (2.4.19)

где , (2.4.20)

представляет собой постоянную времени резисторного каскада на нижних частотах, а

, (2.4.21)

является нормированным временем. Приравняв в (2.4.19) время t длительности импульса Т_и, найдем, что спад вершины прямоугольного импульса, вносимый резисторным каскадом

. (2.4.22)

Положив в (2.5.22) и решив результат относительно С, получим формулу для расчета емкости конденсатора межкаскад­ной связи по допустимому спаду вершины Д_т прямоугольного им­пульса длительностью Т:

.

При Δ_Т<<1, что обычно имеет место на практике, ln1/(1- Δ_Т)~ Δ_Т и формула для расчета необходимой емкости конден­сатора С упрощается:

. (2.4.23)

Выражение (2.4.23) дает немного завышенное значение С, но это завышение даже при Δ_Т=0,1 составляет всего лишь около 5%, что допустимо. Решив (2.4.23) относительно Δ_Т, получим , откуда следует, что спад приближенно равен отноше­нию длительности импульса к постоянной времени каскада на нижних частотах. Например, для получения спада 2% при дли­тельности импульса 2 ,мс необходима постоянная времени каска­да, в 50 раз превышающая длительность импульса и, следова­тельно, равная 0,1 с.

Переходная характеристика в области малых времен, определя­емая процессом заряда паразитной емкости С₀ и представляющая собой кривую, изображенную на рис. 2.4.6 а, определяется уравне­нием

, (2.4.24)

где . (2.4.25)

есть постоянная времени резисторного каскада на верхних час­тотах, а

. (2.4.26)

представляет собой нормированное время.

Как видно из уравнения (2.4.24), процесс установления фрон­та импульса на выходе резисторного каскада происходит моно­тонно, а следовательно, у резисторного каскада выброс фронта отсутствует.

Нормированное время установления резисторного каскада х_у нетрудно найти из уравнения (2.4.24), определив из него х₁, соот­ветствующий значению y₁ = 0,1, и х₂, соответствующий y₂ = 0,9:

y₁=0,1= ; x₁=ln1,11; y₂=0,9= ; x₂=ln10.

Отсюда:

. (2.4.27)

Решив уравнение (2.4.27) относительно R_экв.в, получим формулу, позволяющую найти необходимое значение R_экв.вmax по заданно­му времени установления каскада:

. (2.4.28)

Используя соотношения (2.4.4) и (2.4.16) для достаточно высокочастотного транзистора следующего каскада по известному R_экв.вmax, можно выбрать сопротивление резисторов схемы, обеспечивающее удовлетворение предъявленных к каска­ду требований.

Положив в уравнении (2.4.14) частоту f равной верхней гранич­ной частоте резисторного каскада f_в.гр, на которой относительное усиление Y_в.гр=0,707, и решив это уравнение совместно с (2.4.27), найдем соотношение между f_в.гp и t_y:

; . (2.4.29)

Зная верхнюю граничную частоту, по формулам (2.4.29) можно найти время установления (и наоборот); соотношения (2.4.29) при­ближенно справедливы для любых усилительных каскадов и да­же для многокаскадных усилителей.