Б. Неравенство взвешенной и простой средних при слабой вариации весов.

В табл. 10.2 представлены данные примера Б.

Таблица 10.2

невзвешенный средний индекс цен:

взвешенный средний индекс цен ;

вариация весов

v_d = 0,2366 или 23,7%, т. е. вариация весов намного слабее, чем в примере А.

Рассмотрим, в чем секрет таких соотношений? Обратимся к формуле взвешенной средней:

где x̅, f̅ - простые средние;

Dх, Df - отклонения от них.

Представим последнее выражение как:

Числитель второго слагаемого можно представить через коэффициент корреляции между х и f:

(10.3)

Эта формула аналогична формуле (5.6). Следовательно, средняя взвешенная равна простой средней, если:

• вариация признака х, отсутствует, т. е. s_x = 0;

• вариация -весов f_i отсутствует, т. е. v_f = 0;

• нет корреляции между вариациями признака и весов, т. е. r_xf = 0 (хотя бы сами х, и f, варьировали как угодно сильно).

Отношение взвешенной средней и простой можно выразить следующим образом:

(10.4)

Поскольку различие взвешенной и простой средних зависит от корреляции значений признака и веса, постольку оно может оказаться большим при слабой вариации весов, чем при их сильной вариации (см. главу 5).

Рассмотрим соотношения между индексами (10.1) и (10.2) на примере табл. 10.3.

Таблица 10.3