Основы дисперсионного анализа

Может быть поставлена задача сравнения двух выборочных дисперсий. Для ее решения применяется критерий, названный в честь английского статистика Рональда Фишера (1890 - 1968) F- критерием. Этот критерий представляет собой отношение выборочных дисперсий s²₁ и s²₂, которые рассматриваются как оценки одной и той же генеральной дисперсии s²:

.

Испытуемая гипотеза является нулевой гипотезой Н₀ : s²₁ = s²₂ = s², альтернативная гипотеза Н₁ : s²_{1 ≠} s²_{2 ≠} s² .

F-критерий строится так, что в числителе стоит бо́льшая дисперсия. F_min = 1, F_max ® ¥ . Критические значения критерия F берутся из таблиц F-распределения. F-распределение зависит от уровня значимости и от числа степеней свободы сравниваемых дисперсий d.f.₁и d.f.₂(cм. приложение, табл. 3).

В дисперсионном анализе общая вариация подразделяется на составляющие и производится сравнение этих составляющих. Испытуемая гипотеза состоит в том, что если данные каждой группы представляют случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности, то величины всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как оценку генеральной дисперсии.

Дисперсионный анализ часто применяется совместно с аналитической группировкой (см. гл. 6). В этом случае данные подразделяются на группы по значениям признака-фактора, вычисляются значения средних величин результативного признака в группах, считается, что различия вих значениях определяются различиями в значениях фактора. Задача состоит в оценке существенности различий между средними значениями результативного признака в группах. Итак, испытуемая гипотеза может быть записана как гипотеза о средних величинах Н₀ : m₁ = m₂ =m₃ =… Как было показано в предыдущем параграфе, когда выделяются две группы, эта задача решается с помощью t-критерия. Если же число сравниваемых групп больше двух, то существенность различий между группами доказывается с помощью дисперсионного анализа, на основе F-критерия. Заметим, что результаты дисперсионного анализа, так же как и выводы о характере связи, значения показателей ее силы и тесноты, зависят от числа групп, выделенных по признаку-фактору.

В случае выделения групп по одному фактору мы имеем так называемый однофакторный дисперсионный комплекс. Разложение дисперсии при этом производится в соответствии с правилом сложения дисперсий (см. гл. б):

,

где у_ij - значение результативного признака у i-й единицы в j-й группе;

i - номер единицы, i = 1, .... п.;

j - номер группы;

п_j- численность у-й группы;

y_j - средняя величина результативного признака в у-й группе;

у̅ — общая средняя результативного признака.

Если обозначить суммы квадратов отклонений буквой D, получим равенство:

D_общ = D_факт +D_ост (7.41)

На основе разложения дисперсии (7.41) в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степени свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутригрупповой (остаточной). Число степеней'свободы равно:

для общей вариации

для межгрупповой вариации ;

для внутригрупповой вариации

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством:

или

п - 1 = (m - 1) + (п - т). (7.42)

Деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы дает три оценки генеральной дисперсии s² .

,

, (7.43)

.

Поскольку D_факт измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением фактора, по которому произведена группировка, a D_ост - вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, дает возможность оценить существенность влияния признака-фактора на результативный признак с помощью F-критерия:

.

Эта запись предполагает, что s²_факт > s²_ост. Как правило, мы получаем именно такое соотношение. Если F _факт > F_{табл (a., d.f.1, d.f.2)}, можно утверждать, что нуль-гипотеза не соответствует фактическим данным, влияние признака-фактора является существенным или, иначе говоря, статистически значимым.

Рассмотренные этапы однофакторного дисперсионного анализа представлены в табл. 7.9.

Таблица 7.9