Ранг матрицы
Если в прямоугольной матрице Аm´n выделить любые k строк и k столбцов (k 
min(m,n)), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k–го порядка Аk. Определитель квадратной матрицы Аk называется минором k–го порядка исходной прямоугольной матрицы Аm´n, который обозначается символом Мk.
Опр. Минор k–го порядка Мk матрицы А называется базисным минором, если сам он не равен нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю.
NB. В матрице может быть несколько базисных миноров, но все они будут одного порядка.
NB. Строки и столбцы базисного минора называются базисными строками и столбцами.
Опр. Ранг матрицы есть порядок ее базисного минора. Ранг матрицы А обозначается символом r(A) или rang A.
NB.Только для нулевой матрицы О ее ранг r(O)=0.
Ранг матрицы не меняется:
1) при транспонировании матрицы;
2) если в матрице приписать или вычеркнуть нулевую строку (столбец);
3) при элементарных преобразованиях матрицы.
Опр. Матрица называется ступенчатой, если в каждой ее строке, начиная со второй, первый ненулевой элемент от начала строки расположен строго правее, чем первый ненулевой элемент предыдущей строки. Например,
A = 
или В = 
NB. С помощью элементарных преобразований матрицу всегда можно привести к ступенчатому виду
Опр. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
NB. В ступенчатой матрице всегда можно выделить базисный минор треугольного вида с ненулевыми диагональными элементами, порядок которого равен числу ненулевых строк. Например, в матрице А можно выделить два таких базисных минора
М4= 
и М’4= 
, а в матрице В только один: М4= 
Пример. Найти ранг матрицы А= 
Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.
А= 
~ 
~ 
~
~ 
= В Þ r(B) = 3. Так как А~В Þ r(А) = r(B) = 3.
Ответ: r(A) = 3
Дата добавления: 2015-01-09; просмотров: 856;