Единственность разложения функции в ряд Тейлора

Теорема:Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степеням , то это обязательно ряд Тейлора.

Доказательство:

Пусть функция разлагается в степенной ряд вида:

Найдём коэффициенты степенного ряда, Подставим

Продифференцируем 1 раз

Подставим

Продифференцируем 2 раз

Подставим

Продифференцируем 3 раз

Подставим

Аналогично покажем

Коэффициенты степенного ряда совпадают с коэффициентами рядами Тейлора.

Конец доказательства.