Ряды Маклорена

Если в ряде Тейлора , то получим ряд Маклорена по степеням х.

Остаточный член

Получим разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена и найдём интервалы сходимости этих рядов.

1)

Интервал сходимости этого ряда найдем непосредственно по признаку Даламбера.

Интервал сходимости

При любом х ряд сходится по признаку Даламбера.

- интервал сходимости.

2)

т.к семейство производных любого порядка равномерно ограничено при интервал сходимости

3)

- интервал сходимости.

4) Биномиальное разложение

- интервал сходимости.

5) f(x)=ln(1+x)

Воспользуемся предыдущим биномиальным разложением:

проинтегрируем почленно на отрезке

снимем модуль, т.к 1+х>0

- можно показать.

6) f(x)=arctgx

воспользуемся биномиальным разложением и заменим

проинтегрируем на