Функция суммы двух аргументов

φ = Х + Y, (4.19)

где Х и Y – независимо измеренные величины.

Допустим, что каждая из этих величин измерялась n раз и каждое из измерений сопровождалось случайными погрешностями Δ_Х и Δ_Y. Тогда и функция φ, вычисленная по формуле (4.19), будет иметь погрешность Δ_φ:

φ + Δ_φ = (X + Δ_X) + (Y + Δ_Y) или Δ_φ = Δ_Х + Δ_Y. (4.20)

Возведем равенство (4.20) в квадрат:

Δ = Δ + Δ + 2Δ_X Δ_Y. (4.21)

Таких равенств может быть получено n. Сложив их и разделив на n, получим

[Δ ] / n = [Δ ] / n + [Δ ] / n + 2[Δ_XΔ_Y] / n. (4.22)

На основании четвертого свойства случайных погрешностей величина [Δ_X Δ_Y] как сумма случайных погрешностей будет стремиться к нулю. Тогда с учетом равенства (4.5) будем иметь:

m = m + m . (4.23)

Нетрудно убедиться, что формула (4.23) будет верна и для функции

φ = X –Y. (4.24)

Аналогично предыдущему можно доказать, что для функции суммы (разности) нескольких аргументов

φ = ±Х ± Y ± Z ± … ± U. (4.25)

Квадрат средней квадратической погрешности этой функции будет равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей аргументов:

m = m + m + m +…+ m . (4.26)

Если m_X = m_Y = m_Z = …=m_U, а число измеренных величин X, Y, Z, …, U равно n, то

m = nm² или m_φ = m√ n, (4.27)

т. е. средняя квадратическая погрешность суммы равноточно измеренных величин в √n раз больше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

П р и м е р. Найти среднюю квадратическую погрешность суммы измеренных углов в четырехугольнике, если средняя квадратическая погрешность одного угла равна ±30^''. По формуле (4.27) находим

__

m_φ = ± 30^'' √ 4 = ±60^'' = 1^'.