Регресійний аналіз.

Важливою характеристикою кореляційного аналізу є лінія регресії – емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу.

Емпірична лінія регресії представлена груповими середніми результативної ознаки , кожна з яких належить до відповідного інтервалу значень групувального фактора (див. табл.6.2).

Теоретична лінія регресії описується певною функцією , яку називають рівнянням регресії, а Y – теоретичним рівнем результативності ознаки. На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперервна.

Залежно від характеру зв’язку статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння:

– лінійні рівняння – , коли із змінною х ознака у змінюється більш-менш рівномірно;

– нелінійні рівняння, коли зміна взаємопов’язаних ознак відбувається нерівномірно (з прискоренням, уповільненням або напрям зв’язку змінюється), зокрема:

степенева

гіперболічна

параболічна

В практиці частіше застосовуються лінійні рівняння або приведені до лінійного виду. У лінійному рівнянні параметр b– коефіцієнт регресії, який вказує, на скільки одиниць в середньому зміниться у зі зміною х на одиницю. Він має одиницю виміру результативної ознаки і розглядається як ефект впливу хна у.

Параметр a – вільний член рівняння регресії, тобто це значення У при х=0. Якщо х не набуває нульових значень, цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого – мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень y від теоретичних Y:

.

Математично доведено, що значення параметрів а та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначається із системи нормальних рівнянь:

n∙a+b

a∙ b∙

Звідси:

,

Порядок обчислення параметрів лінійної регресії розглянемо на прикладі зв’язку між урожайністю зернових і кількістю внесених добрив (в центнерах діючої поживної речовини – д.р.). Взаємопов’язані ознаки та необхідні для розрахунку параметрів величини наведені в табл.6.2

Таблиця 6.2 – Матеріали до розрахунку параметрів лінійної регресії

Номер госпо- дарства	Кількість внесених добрив,х ц.д.р	Урожайність зернових,у ц/га	х∙у	х	Y	у - Y	(у –Y)
	1,4		35,0	1,96	27,03	-2,03	4,12
	2,0		66,0	4,00	33,29	-0,29	0,08
	1,8		54,0	3,24	31,2	-1,2	1,44
	1,3		36,4	1,69	26,0
	1,2		31,2	1,44	24,95	1,05	1,10
	1,1		25,3	1,21	23,91	-0,91	0,83
	1,7		54,4	2,89	30,16	1,84	3,39
	1,5		40,5	2,25	28,08	-1,08	1,17
	1,6		46,4	2,56	29,12	-0,12	0,01
	1,9		62,7	3,61	32,26	0,74	0,56
Разом	15,5		451,9	24,85		х	16,70

=15,5:10=1,55

=286:10=28,6

Користуючись цими величинами, визначаємо:

b= ц/га

a= 28,6-10,424∙1,55=12,443

Отже, рівняння регресії має вигляд:

у= 12,443+10,424х

Тобто, кожний центнер внесених добрив (в перерахунку на діючу поживну речовину) дає приріст урожайності в середньому 10,424 ц/га. Якщо добрива не вносити (х=0), то урожайність зернових не перевищить 12,443 ц/га.

Рівняння регресії відбиває закон зв'язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для сукупності в цілому. Закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу «за інших однакових умов».

Вплив інших окрім х факторів зумовлює відхилення емпіричних значень увід теоретичних у той чи інший бік. Відхилення (у – Y) називають залишками і позначають символом e. Залишки, як правило, менші за відхилення від середньої, тобто:

(у – Y) ≤ (у - ).

У нашому прикладі

,

де .

.

Відповідна загальна дисперсія врожайності:

у - .

Залишкова дисперсія:

.

Коефіцієнт регресії у невеликих за обсягом сукупностях схильний до випадкових коливань. Тому здійснюється перевірка його істотності за допомогою t – критерію (Стьюдента):

,

де b – коефіцієнт регресії;

– стандартна похибка.

Стандартна похибка коефіцієнта регресії залежить від варіації факторної ознаки , залишкової дисперсії і числа ступенів свободи k = n – m, де m – кількість параметрів рівняння регресії:

.

Для лінійної функції m = 2. За даними табл.6.2 маємо:

.

Звідси:

(ц/га),

а

,

що перевищує критичне значення t – критерію . Гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, а отже, з імовірністю 0,95 вплив кількості добрив на врожайність зернових визначається істотним.

Для коефіцієнта регресії визначаються також довірчі межі: . В нашому прикладі довірчі межі коефіцієнта регресії з імовірністю 0,95 (t = 2,45) становлять 10,424±2,45∙1,59.

Важливою характеристикою регресійної моделі є відносний ефект впливу фактора х на результат у – коефіцієнт еластичності:

,

який показує, на скільки процентів у середньому змінюється результативна ознака у зі зміною фактора х на 1%. За даними нашого розрахунку:

,

тобто збільшення кількості внесених добрив на 1% приріст урожайності зернових у середньому складає 0,565%.

На підставі рівняння регресії визначаються теоретичні значення Y, тобто значення результативної ознаки за умови впливу лише фактора х при незмінному рівні інших факторів. Так, для

х = 1,5 ц теоретичний рівень урожайності становить 28,08 ц/га (Y = 12,443+10,424∙1,5), що дещо відхиляється від емпіричного значення (27 ц/га).