Теоретическое введение. Термодинамические соотношения, определяющие величины теплоёмкостей при постоянном давлении ( ) и при постоянном объёме ( )

Термодинамические соотношения, определяющие величины теплоёмкостей при постоянном давлении ( ) и при постоянном объёме ( ), приведены в работе 1-20 “ Определение отношения теплоемкостей для воздуха методом адиабатического расширения”. Там же отмечено, что отношение определяет скорость распространения звука в газах. Поэтому, измеряя величину скорости звука в газе, можно определить значение адиабатической постоянной .

Рассмотрим, чем определяется скорость звуковых волн в газе и как она зависит от температуры. Звуковыми или акустическими волнами называют упругие волны малой интенсивности, т.е. слабые механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. В сплошной среде любую малую деформацию можно представить в виде элементарных деформаций растяжения (сжатия) и сдвига. Поэтому упругие свойства изотропных твердых тел вполне определяются двумя упругими константами – модулем Юнга (растяжение, сжатие) и модулем сдвига (чистый сдвиг). И, соответственно, в твердых телах могут распространяться продольные волны (волны сжатия, растяжения) и поперечные волны (волны сдвига).

Что же касается газов, то они в отличие от твердых тел способны как угодно изменить свою форму под действием сколь угодно малых сил. Лишь для изменения самого объема газа, как и для твердых тел, необходимы конечные внешние силы. Т.е. газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения объема. Из двух элементарных деформаций – растяжения (сжатия) и сдвига – только первая связана с изменением объема. Поэтому только в отношении деформации растяжения и сжатия газы ведут себя как упругие тела. Однако и в отношении этой деформации есть существенное различие в поведении газов от твердых тел. Твердое тело можно растянуть или сжать в каком–либо одном направлении. Его можно также сжать во всех направлениях, т.е. подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В газах же имеем дело только со всесторонним сжатием (только деформации сжатия). Какой бы объем ни занимала данная масса газа, газ всегда оказывается сжатым, так как в отсутствие внешних сил объем газа будет увеличиваться беспредельно. Итак, газы ведут себя как упругие тела только в отношении деформации всестороннего сжатия.

Давление в газе зависит от степени его сжатия. Так же, как и в твердых телах, связь между давлением (напряжением) и сжатием (деформацией) определяется упругими свойствами тела. Упругие свойства газа характеризуются объемной упругостью (сжимаемостью), то есть соотношением между изменением объема (плотности) данной массы газа и изменениями давления в нем. Объемная упругость жидкостей и газов количественно может быть охарактеризована отношением действующего давления к величине относительного изменения объема, которое этим давлением вызвано.

Пусть объём газа при некотором давлении равен и при изменении давления на он изменится на . Следовательно, относительное изменение объёма есть , а коэффициент сжимаемости определяют как:

(21.1)

Обратная величина называется модулем сжатия:

(21.2)

Знак минус взят затем, чтобы было положительно ( и всегда противоположны по знаку).

Если выразить (21.2) через плотность ( ), то получим:

(21.3)

Найдем теперь, как связана скорость звуковых волн в газе с его упругими свойствами – с модулем сжатия. Звуковая волна в газе представляет собой последовательные чередующиеся области сжатия и разрежения, распространяющиеся со скоростью, зависящей от упругих свойств газа.

Как может возникнуть область сжатия в газе?

Представим себе пластину очень больших размеров, помещённую в газ (АА на рис.21.1), которой в некоторый момент времени сообщают быстрое перемещение со скоростью вдоль нормали к ней. В прилегающем слое газа возникнет сжатие и вследствие этого повышение давления. Это давление вызовет движение следующего слоя газа и т.д., то есть возмущение будет передаваться от слоя к слою. Возмущение за время распространится до линии ВВ на расстояние , где – скорость распространения упругой волны, и охватит область среды объёмом ( – площадь пластины) с массой .

В возмущённой области всё вещество в любой момент времени движется с постоянной скоростью . Следовательно, изменение импульса возмущённой области равно . По второму закону Ньютона изменение импульса за время равно импульсу действующей силы: . Таким образом, сила, действующая на площадку слева, равна , а увеличение давления, вызванное этой силой,

. (21.4)

Распространение возмущения в газе связано с увеличением его плотности в возмущённой области на ( – плотность газа в области сжатия, – плотность недеформированного газа). Относительное изменение плотности в возмущённой области объёмом равно относительному изменению объёма при смещении пластины на :

. (21.5)

Из (21.4) и (21.5) получим , или

. (21.6)

Таким образом, скорость распространения области сжатия в газе определяется тем, как изменяется его плотность при изменении давления.

Чтобы получить теперь окончательное выражение для скорости звука в газе, необходимо принять во внимание, что упругие свойства газов зависят от температуры. При быстром сжатии газа выделяется теплота, которая не успевает распространиться в соседние объёмы. Сжатие газа без отвода теплоты – это адиабатический процесс. При адиабатическом изменении состояния газа вместо закона Бойля-Мариотта, который справедлив при неизменной температуре (изотермическое сжатие), связь между объёмом и давлением дается уравнением Пуассона

, , (21.7)

где .

Так как плотности обратно пропорциональны объемам, то уравнение Пуассона можно переписать так: , или

. (21.8 )

Дифференцируя (21.8), находим

. (21.9)

Если сравнить выражение ( – модуль Юнга), определяющее скорость распространения продольных звуковых волн в твердых телах, и (21.6)

с (21.9) то видно, что величина играет в газе такую же роль, какую величина в твердом теле. Эта величина и определяет скорость распространения области сжатия. В отличие от модуля Юнга твердого тела, модуль сжатия газа зависит от того значения плотности , которое имеет газ в области сжатия.

Только в том случае, когда сжатие столь мало, что можно положить , модуль сжатия перестает зависеть от и скорость распространения области сжатия не зависит от величины сжатия (деформации).

В этом случае, как следует из (21.9)

, (21.10)

и скорость распространения слабых импульсов сжатия:

(21.11)

Звуковые волны можно рассматривать как ряд таких импульсов сжатия, следующих вплотную друг за другом и распространяющихся с одинаковой скоростью. Пока сжатия в звуковой волне не велики, она должна распространяться со скоростью, определяемой (21.11).

Используем уравнение состояния для идеального газа ( – молярная масса, – универсальная газовая постоянная, – температура) в виде . Тогда выражение для скорости звуковых волн в идеальном газе принимает такой вид:

(21.12)

Отсюда отношение газовых теплоемкостей:

(21.13)

Из него следует, что для определения адиабатической постоянной достаточно при постоянной температуре в газе измерить скорость звука.

Отметим еще, что формула (21.12) имеет ясный физический смысл: передача возмущений в звуковой волне в газе осуществляется за счет теплового движения молекул, поэтому не удивительно, что скорость звука равна по порядку величины скорости теплового движения молекул .