Частные производные.

Рассмотрим изменение функции при задании приращения только одному из ее аргументов – х_i , и назовем его .

Определение 1.7. Частной производной функции по аргументу х_i называется .

Обозначения: .

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной – х_i. Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной.

Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными.

Примеры.

1. z = 2x² + 3xy –12y² + 5x – 4y +2,

2. z = x^y,

3.

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных.

Рассмотрим уравнение поверхности z = f (x,y) и проведем плоскость х = const. Выберем на линии пересечения плоскости с поверхностью точку М (х,у). Если задать аргументу у приращение Δу и рассмотреть точку Т на кривой с координатами (х, у+Δу, z+Δ_yz), то тангенс угла, образованного секущей МТ с положительным направлением оси Оу, будет равен . Переходя к пределу при , получим, что частная производная равна тангенсу угла, образованного касательной к полученной кривой в точке М с положительным направлением оси Оу. Соответственно частная производная равна тангенсу угла с осью Ох касательной к кривой, полученной в результате сечения поверхности z = f (x,y) плоскостью y = const.