Производные и дифференциалы высших порядков.

 

Частные производные функции z = f (x,y) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у. Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

 

Определение 3.2. Частной производной n-го порядкафункции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

 

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, ). Докажем это утверждение.

Теорема 3.3. Если функция z = f (x,y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(3.3)

Доказательство.

Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию . Тогда

. Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [x, x+Δx], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где

[x, x+Δx]. Но Так как в окрестности точки М определена , дифференцируема на отрезке [y, y + Δy], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А:

и введем другую вспомогательную функцию , тогда Проведя те же преобразования, что и для , получим, что где . Следовательно,

. В силу непрерывности и . Поэтому, переходя к пределу при получаем, что , что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

 

Дифференциалы высших порядков.

 

Определение 3.2. Дифференциалом второго порядка функции u = f (x, y, z) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

 

Определение 3.3. Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k-1u).

 

Свойства дифференциалов высших порядков.

  1. k-й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

.

  1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

 

Лекция 4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

 

Пусть функция z = f (x, y) является дифференцируемой в окрестности точки М (х0 , у0). Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостями у = у0 и х = х0, которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x, y). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {- ,- , 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

, (4.1)

где z0 = .

 

Определение 4.1. Плоскость, определяемая уравнением (4.1), называется касательной плоскостьюк графику функции z = f (x, y) в точке с координатами ( х0 , у0 , z0 ).

 

Из формулы (2.3) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

или

 

(4.2)

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→0.

При этом дифференциал функции f имеет вид:

,

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

 

Определение 4.2. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х0 , у0) поверхности z = f (x, y), называется нормалью к поверхности в этой точке.

 

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор --n = { , ,-1}.

z

 
 


z = f (x,y)

M0 (x0 , y0 , z0)

n

 
 


y

M (x0 , y0)

x

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х0 = у0 = 1 z0 =1; . Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + y – z – 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.

Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N(1,01; 1,01).

Δz = 1,01² - 1 = 0,0201; Δzкас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δzкас = 0,02. При этом Δz dz = 0,0001.

 








Дата добавления: 2015-03-19; просмотров: 1375;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.018 сек.