Системы счисления. Для записи информации о количестве объектов используются числа

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Система счисления – это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. В них значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются буквы латинского алфавита:I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D- 500; M – 1000.

Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числах. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа то прибавляется. Например:

XXIV = 10+10+(5-1) =24,

MCMLVIII = 1000 + (1000-100) + 50+5 +1+1+1=1958.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе. Например, в десятичном числе 525,5 первая пятерка означает 5 сотен, вторая – 5 единиц, а третья – 5 десятых долей единицы. Сама же запись числа 525,5 означает сокращенную запись суммы:

525,5= 500+ 20+5+0.5 = 5 * 10² + 2 * 10¹ + 5 * 10⁰ + 5 * 10^-1. (1.1)

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием, которое указывает на количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Например, в десятичной системе счисления используется десять всем хорошо известных чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9., поэтому основанием является число 10. В записи (1.1) число 525,5 разложено по основанию 10.

Для сохранения и распознавания информации самым простым являются технические устройства, которые имеют два устойчивых состояния:

- перфорированные ленты и карты (пробито / непробито);

- электромагнитные реле (замкнуто / разомкнуто);

- участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен / размагничен);

- участок поверхности лазерного диска (отражает / неотражает);

- напряжение в элементах электронных схем (значительное / отсутствует).

Поэтому в компьютере для предоставления информации используется двоичное кодирование, а арифметическую основу компьютера составляет двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа 101,01 может выглядеть так:

101.01 = 1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2.

Возможно использование множества позиционных систем счисления. Например, в компьютерах для уменьшения разряда числа используется восьмеричная (0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,5,6,7) и шестнадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,7,8,9, A,B,C,D,E,F) системы. В общем случае в q-ичной системе счисления запись числа A_q = a_n-1a_n-2….a₁a₀,a _-1a _-2…..a _–m, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

A_q=a_n-1*q^n-1+a_n-2*q^n-2+…+a₀*q⁰+a_-1*q^-1+…+a_-m*q^-m

Коэффициенты а_i в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.