В двоичную и обратно

Для перевода целого десятичного числа N в двоичную систему счисления необходимо разделить N на 2 с остатком. Затем неполное частное, полученное от этого деления, нужно снова разделить на 2 с остатком и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Число N в двоичной системе счисления представится в виде упорядоченной последовательности полученных остатков деления, записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример 1.2.1. Перевести числа 25 и 11 из десятичной системы в двоичную.

В результате делений получили: 27₁₀=11001₂ и 11₁₀=1011₂. Ответы проверим обратным переводом:

11001₂= 1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=16+8+0+0+1=25₁₀;

1011₂= 1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰= 8+0+2+1=11₁₀.

Для перевода правильной десятичной дроби F в двоичную систему счисления необходимо F умножить на 2, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на 2 и т.д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в двоичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения.

Пример 1.2.2.Перевести числа 0,5625 и 0,7 в двоичную систему.

и.т.д.

В результате умножений получили: 0,5625₁₀=0,1001₂ и 0,7 0,10110₂. Как видим, во втором примере процесс умножения может продолжаться бесконечно, давая всё новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется 2^-(к+1)/2.

Ответы проверим обратным переводом:

0,1001₂=1*2^-1+0*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=1/2+0+0+1/16=9/16=0,5625;

0,1011₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4=1/2+0+1/8+1/16=11/16= 0,6875₁₀ 0,7.

Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная, в итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример 1.2.3.Перевести число 111,5625 в двоичную систему.

В примерах 1.2.1 и 1.2.2 были установлены, что 11₁₀=1011₂ и 0,5625₁₀= 0,1001₂. Поскольку 11,5625=11₁₀+0,5625₁₀, то получим 11,5625₁₀=1011,1001₂.