Общее уравнение динамики

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которую наложены идеальные удерживающие связи. Уравнения движения точек имеют вид:

где

– равнодействующая всех активных сил, действующих на точку с номером ;

– равнодействующая реакций связей, наложенных на точку с номером .

При фиксированном времени дадим точкам системы возможные перемещения. Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответствующее возможное перемещение и сложим все полученные уравнения:

Поскольку по условию связи идеальные (7.1), последняя сумма равна нулю и, следовательно,

(8.6)

Уравнение (8.6) называется общим уравнением динамики.

При использовании общего уравнения динамики удобно вводить в рассмотрение силы инерции. В этом случае уравнение (8.6) принимает вид:

(8.7)

Равенство (8.7) составляет содержание так называемого принципа Лагранжа–Даламбера:

В каждый момент времени для механической системы с идеальными удерживающими связями сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Пример

Призма массы может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки. Конец троса прикреплен к оси катка, который катится без скольжения по боковой поверхности призмы. Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент . Составить дифференциальные уравнения движения системы.

Рис.8.3

Силовая и кинематическая схемы представлены на Рис.8.3. Общее уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид:

Система имеет две степени свободы. В качестве независимых координат примем координату призмы и относительную координату оси катка . Кинематические условия, налагаемые связями, имеют вид:

Отсюда: и

Учитывая, что

получаем общее уравнение динамики в виде:

Поскольку возможные перемещения и могут принимать любые значения и не зависят друг от друга, общее уравнение динамики распадается на систему двух дифференциальных уравнений относительно координат и :