Принцип возможных перемещений. Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем
Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем. Под равновесием механической системы традиционно понимают состояние ее покоя по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы суммы всех сил, действующих на каждую точку системы, и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю:
(8.1)
где – равнодействующая всех активных сил, действующих на точку с номером ;
– равнодействующая всех сил реакций связей, наложенных на точку с номером .
Для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю:
(8.2)
Сформулированное утверждение называют принципом возможных перемещений.Необходимость. Пусть механическая система находится в равновесии. Следовательно, выполняются условия (8.1). Из данного положения дадим системе возможное перемещение. Умножим каждое из уравнений (8.1) скалярно на соответствующее точке возможное перемещение и сложим все полученные уравнения:
(8.3)
По условию связи идеальные, следовательно, справедливо равенство (7.1). Из (8.6) и (8.3) получаем (8.2).
Достаточность. Приложим к точкам покоящейся механической системы систему сил, удовлетворяющих равенству (8.2) и, следовательно, поскольку связи идеальные (7.1), равенству
(8.4)
Покажем, что механическая система останется в покое. Допустим противное – система под действием приложенных сил пришла в движение, т.е. ее точки получили ускорения . Эти ускорения должны быть направлены по касательным к траекториям точек, поскольку скорости равны нулю и нормальные составляющие ускорений отсутствуют. Таким образом, действительные перемещения точек пропорциональны их ускорениям. По условию связи стационарные и, следовательно, среди возможных перемещений системы найдется такое, которое совпадает с действительным. Возьмем в качестве возможного перемещения систему векторов, пропорциональных ускорениям точек . Равенство (8.4) примет вид: или, учитывая, что для каждой точки справедлив второй закон Ньютона,
Это равенство может иметь место только в том случае, если ускорения всех точек равны нулю Следовательно, механическая система после приложения активных сил останется в покое.
Заметим, что если вместо возможных перемещений использовать пропорциональные им возможные скорости (что позволяет в полной мере использовать при решении задач кинематические методы), то условия равновесия записываются в виде:
(8.5)
т.е.
Для равновесия механической системы с идеальными, удерживающими, стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей всех приложенных к системе активных сил при любых возможных скоростях ее точек равнялась нулю и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 999;