Правила дифференцирования
1. Производная постоянной:
2. Производнаясуммы:
3. Производнаяпроизведения .
Следствие: , т. е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная частного:
5. Производная сложной функции: ,
где f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.
Пусть функция заданапараметрически: Тогда ее производная равна
2.3.1. Примеры вычисления производных
,
11. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение.
2.12. Найти производную функции по определению производной:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
2.13. Найти производную функции:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9)
10)
11) 12) 13)
14) 15) 16)
17) 18) 19)
20) 21) 22)
23) 24) 25) 26) 27) 28)
29) 30) 31)
32) 33) 34)
2.14. Найти производную функции и вычислить ее значение при x = x0:
1) 2)
2.15. Найти производные функций, заданных неявно:
1) 2)
3) 4)
2.16. Найти производную n-го порядка функций:
1) 2)
3) 4)
2.3.2. Применение производной в экономике
2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , где t – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8-часовом рабочем дне).
2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:
а) б)
Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.
2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 30.
Указание. Эластичность функции y(x) равна
где и − относительные приращения функции и аргументов соответственно. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении аргумента x на 1 %.
2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.
2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.
2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.
1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.
2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?
2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?
2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра а и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.
2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид: где x − совокупный национальный доход.
Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.
2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид: где x – совокупный национальный доход.
Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.
2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой где и k – известные величины. Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.
2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V(р) равна произведению цены р на величину спроса q(р).
2.3.3. Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение
Применение дифференциала в приближённых вычислениях: при достаточно малых значениях х
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 893;