Решение обратной задачи расчета матрицы переходов

В работе «Социальная политика» [21] стр.62 говорится, что «…стагнация характерна лишь для 11,0% процентов лиц с высокими доходами и 19,0% для лиц с низкими доходами, тогда как остальные 70% граждан России по различным причинам могут за небольшой промежуток времени переходить из одной группы в другую», т.е., следует понимать, что в течение некоторого интервала времени (шага цепи Маркова) 11% от числа богатых оставались таковыми, а остальные 89% перемещались в другие группы, аналогично, 19% бедных оставались бедными, а остальные 81% переходили в другие классы. На основании этих данных можно предложить матрицу переходов для одношаговой цепи Маркова по аналогии с матрицей Гласса и Холла. Следует сказать, что неизвестными являются интенсивности переходов для среднего класса, поэтому предлагаемая матрица просто является иллюстративным материалом для проведения расчетов, приближенных к более или менее реальным условиям российского общества.

.

Найдем, как изменится начальная социальная структура российского общества после некоторого интервала времени (одного шага цепи Маркова), для чего умножим вектор начального распределения вероятностей π на матрицу .

.

Как видно социальная структура населения существенно изменилась: значительно выросла доля среднего класса. Для данной матрицы можно найти неподвижный вектор , который характеризует финальное распределение вероятностей состояний цепи Маркова, не зависящее от начального распределения. Решая соответствующее уравнение, находим, что он равен (0,043; 0,719; 0,237). Как указывалось выше, этот вектор характеризует такое состояние общества, которое устраивает всех и не претерпевает в дальнейшем существенных изменений. Здесь интересно сравнить полученные результаты с английским вариантом стабильного общества, где вектор равен (0,067; 0,624; 0,309), как видно имеет место не очень значительное расхождение. В качестве дополнительного примера можно привести высказывание некой А.Хрящевой, относящееся к историческому прошлому России, приведенное в работе [21] на стр.58: «Если структура общества такова, что в нем 10% крупных буржуазных верхов, 40% земельных мелких собственников (служащих и чиновников) и 50% рабочих, то никакие восхождения и нисхождения не могут изменить этого отношения», т.е. в данном примере вектор равен (0,10; 0,40; 0,50).

Также, представляет интерес найти то количество шагов, через которое система приходит в стационарный режим. Для этого необходимо найти ту степень матрицы , при которой она равна матрице A, все строки которой равны неподвижному вектору .

.

.

Как видно из приведенных расчетов, через четыре шага система попадает в установившийся режим.

Получение переходной матрицы вызывает определенные трудности в связи с тем, что нет достоверных данных о численных значениях вероятностей перехода системы из одного класса в другой. Поэтому представляет большой интерес решение обратной задачи: пусть известен неподвижный вектор , который задает финальное распределение вероятностей состояний амбивалентной системы, не зависящее от начального распределения вероятностей состояний. Требуется найти переходную матрицу , которая через определенное количество шагов приводит к этому неподвижному вектору . Здесь следует сказать, что если прямая задача имеет единственное решение, то обратная задача имеет множество решений, из которых нужно выбрать одно решение.

Для решения поставленной задачи, очевидно, можно предложить два подхода. Первый основывается на использовании системы уравнений для вектора , а второй основывается на том, что предельная матрица равна искомой матрице , возведенной в некоторую степень n.

Рассмотрим решение поставленной задачи на простом примере, когда амбивалентная система имеет два состояния, например, когда нет среднего класса, а есть только богатые и бедные. В этом случае вектор имеет два параметра , а матрица переходов имеет вид

.

Напишем систему уравнений, связывающую параметры с элементами матрицы :

Так как система уравнений совместна, то она имеет множество решений, выраженных следующим соотношением:

.

Т.е. имеем одно уравнение с двумя неизвестными, так как рассматриваются регулярные цепи Маркова, то единичные значения вероятностей перехода не учитываются. Придавая конкретное значение одной из вероятностей, получаем значение другой вероятности.

Найдем выражение для определителя переходной матрицы :

Выразим определитель через одну из вероятностей перехода, после простых преобразований получаем, что

Или, подставляя вместо детерминанта его значение, выраженное через точность и количество шагов n, получаем

.

Здесь также можно поставить обратную задачу нахождения детерминанта переходной матрицы , если известен какой-либо из её коэффициентов, например, . В этом случае

.

В качестве одного из нескольких примеров, возьмем вектор (0,05, 0,95): такой вектор характеризует социальную структуру российского общества без среднего класса [21]. Подставляя принятые параметры в формулу, получаем, что . Если в качестве вероятности перехода от богатого класса к бедному взять значение равное 0,05, то вероятность перехода от бедного класса к богатому будет равна 0,003, т.е. матрица равна:

.

Найдем количество шагов, за которое данная система придет к неподвижному вектору . Так как детерминант этой матрицы равен 0,947 то, согласно выше приведенной формуле, при точности = 0,01 необходимое количество шагов равно 85, т.е. при такой матрице переходов, требуется большое количество шагов для попадания в установившийся режим. Как было сказано выше, таких матриц переходов можно предложить много, поэтому возникает проблема нахождения такой матрицы, при которой время переходов было бы минимальным. Тривиальное, но не реальное решение заключается в том, что матрица переходов равняется предельной матрице с одинаковыми строками. В этом случае время переходов равно одному шагу: нереально за один шаг с вероятностью 0,95 бедному стать богатым.

Для амбивалентной системы с тремя состояниями также можно получить соотношения, связывающие параметры финального стационарного режима с элементами переходной матрицы .

В предложенной системе уравнений неизвестными величинами являются вероятности перехода . Так как система уравнений совместна, то существует бесконечное множество решений, из которых необходимо выбрать одно. Выбранное решение должно удовлетворять некоторому критерию, например, часть неизвестных величин задаются заранее, а часть величин рассчитывается по формулам. Также ставится задача, чтобы за меньшее количество шагов система приходила к финальной вероятности.

После некоторых преобразований получаем следующие соотношения:

,

,

,

,

.

Как видно из предложенных уравнений, необходимо заранее задать значения четырех переменных из девяти, остальные неизвестные рассчитываются по формулам. Для иллюстрации предложенного подхода вернемся в начало данного раздела и приведем расчет матрицы перехода для данных, взятых из работы [21]. В соответствии с этими данными известными параметрами являются вероятности перехода 0.76 и 0.01, зафиксируем также значения вероятностей 0.05 0.8. Для финального вектора состояний получаем следующую матрицу переходов:

Как видим, расчетная матрица незначительно отличается от матрицы, полученной путем логических рассуждений.

Рассмотрим второй вариант расчета переходной матрицы на основе того, что задан детерминант степенной матрицы . Представим матрицу в следующем виде:

.

Выражая элементы матрицы через финальные вероятности:

,

Находим, что

.

Откуда получаем следующее соотношение для искомой вероятности

.

Таким образом, задавая значения трех элементов матрицы переходов и численное значение детерминанта, которое, как было показано выше, зависит от точности и количества шагов, вычисляем остальные элементы переходной матрицы. В качестве примера рассмотрим режим «мягкого» гомеостаза, при котором неподвижный вектор равен (0,33, 0,33, 0,34). Матрица переходов выглядит следующим образом:

,

где λ и µ характеризуют интенсивности перехода из одного состояния в другое. В общем виде детерминант этой матрицы равен:

.

В режиме «мягкого» гомеостаза λ = µ, тогда для этого режима

,

где µ ≤ 1.

Зададим µ = 0,5 и найдем то количество шагов, через которое амбивалентная система придет к финальному распределению. При µ = 0,5 детерминант матрицы равен – 0,25. Задавая точность отклонения от неподвижного вектора =0,01, получаем, что система приходит к нему за 5 шагов. Матрица перехода за 5 шагов равна:

.

Для сравнения рассмотрим режим «жесткого» гомеостаза, когда µ значительно больше λ, например, µ = 9 λ. Пусть µ = 0,9, тогда матрица переходов равна:

.

Детерминант этой матрицы равен – 0,09. Для точности =0,01 количество шагов, необходимое для попадания в стационарный режим, при котором вероятности состояний не зависят от начального состояния, равно 3 и больше. Матрица для трех шагов равна

.

Интересно сравнить неподвижные векторы для различных социальных систем, например, для буржуазной России: 10% крупных буржуазных верхов, 40% земельных мелких собственников (служащих и чиновников) и 50% рабочих, т.е. класс богатых 10%, средний класс 40% и класс бедных 50%; для современной России: 5% богатых, 20% средний класс и 75% бедных; для Китая социальная структура общества на 2001 год составляла: количество людей, относящихся к верхнему слою 15 – 25 % общей численности населения; средний слой – 50 – 60 %; нижний слой – 15 – 30 %, если взять середину указанных границ, то получаем [22]. Ниже приведена итоговая таблица неподвижных векторов состояний для выше приведенных систем.

Общество/Вектор
Буржуазная Россия	0.1	0.4	0.5
Современная Россия	0.05	0.20	0.75
Китай 2001 года	0.20	0.55	0.25

К сожалению, автор не располагает достоверными данными о динамике изменения структуры приведенных систем и, следовательно, не может показать являются ли данные соотношения финальными векторами.