Определение неизвестной функции распределения.

Пусть мы имеем дело с непрерывной случайной величиной , значения которой получены из наблюдений. Разобьем диапазон наблюдаемых значений на интервалы ] X0, X1 [, ] X1, X2 [, ..., ] Xk-1, Xk [ одинаковой длины . Пусть mi - число наблюдаемых значений , попавших в i-й интервал. Разделив mi на общее число наблюдений n, получим частоту , соответствующую i-му интервалу: , причем . Составим следующую таблицу:

Номер интервала Интервал mi
] X0, X1 [ m1
] X1, X2 [ m2
... ... ... ...
k ] Xk-1, Xk [ mk

которая называется статистическим рядом. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины называется частота события, заключающегося в том, что величина в результате опыта примет значение, меньшее x:

На практике достаточно найти значения статистической функции распределения F*(x) в точках X0, X1, ..., Xk, которые являются границами интервалов статистического ряда:

(65)

Cледует заметить, что F*(x)=0 при x<X0 и F*(x)=1 при x>Xk. Построив точки Mi [Xi ; F*(Xi)] и соединив их плавной кривой, получим приближенный график эмпирической функции распределения (рис. 15). Используя закон больших чисел Бернулли, можно доказать, что при достаточно большом числе n испытаний с вероятностью, близкой к единице, эмпирическая функция распределения F*(x) отличается сколь угодно мало от неизвестной нам функции распределения F(x) cлучайной величины

Часто вместо построения графика эмпирической функции распределения поступают следующим образом. На оси абсцисс откладывают интервалы ] X0, X1 [, ] X1, X2 [, ..., ] Xk-1, Xk [. На каждом интервале строят прямоугольник, площадь которого равна частоте , соответствующей данному интервалу. Высота hi этого прямоугольника равна , где - длинна каждого из интервалов. Ясно, что сумма площадей всех построенных прямоугольников равна единице.
Рассмотрим функцию , которая в интервале ] Xi-1, Xi [ постоянна и равна hi. График этой функции называется гистограммой. Он представляет собой ступенчатую линию (рис. 16). С помощью закона больших чисел Бернулли можно доказать, что при малых и больших n с практической достоверностью как угодно мало отличается от плотности распределения непрерывной случайной величины .

 

Пример. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Значения диаметра (в см) оказались в диапазоне 66-90 см. Разбив этот диапазон на интервалы диной 2 см ( =2), получим статистический ряд (см. таблицу)

 

Номера интервалов Интервалы mi
(1) (2) (3) (4) (5)
]66,68[ 0,015 0,008
]68,70[ 0,045 0,022
]70,72[ 0,090 0,045
]72,74[ 0,152 0,076
]74,76[ 0,185 0,092
]76,78[ 0,196 0,098
]78,80[ 0,144 0,072
]80,82[ 0,096 0,048
]82,84[ 0,048 0,024
]84,86[ 0,019 0,009
]86,88[ 0,007 0,004
]88,90[ 0,003 0,002
  1,000  

Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Подсчитанные частоты приведены в столбце (4), а значения высотhi прямоугольников гистограммы - в столбце (5). Гистограмма изображена на рис. 17.

Значения эмпирической функции распределения в граничных точках интервалов вычислены по формуле (65) и приведены в следующей таблице:

x
F*(x) 0,015 0,060 0,150 0,302 0,487 0,683 0,827 0,923 0,971 0,990 0,997 1,000

Так, например,

График функции F*(x) изображен на рис.18.

 








Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 865;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.