ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых измерений, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют (см. § 6, п. 2). Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую мы обозначим через (i — номер измерения). Так как каждое измерение не зависит от результатов других измерений, то мы имеем nслучайных независимых величин
. Обозначим через x1, x2, ..., xn фактически полученные результаты n измерений величины а. Таким образом, xi есть одно из возможных значений
.
На основании закона больших чисел Чебышева (см, § 5, п. 2) мы можем утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство
Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок (см. § 6, п. 2) каждый возможный результат измерения есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с одним и тем же математическим ожиданием, равным истинному значению а измеряемой величины:
(i=1, 2, ..., n). Далее будем предполагать, что все измерения проводятся с одинаковой степенью точности (равноточные измерения). Поэтому дисперсии всех случайных величин должны быть одинаковыми, т. е.
.
Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение . Так как возможный результат i-гo измерения есть случайная величина
, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием
и дисперсией
, то случайная величина
также имеет нормальное распределение с тем же математическим ожиданием
, и средним квадратическим отклонением
(см. § 4, п. 3). Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической
имеет вид
где параметры распределения равны а и
Следовательно, вероятность того, что при n измерениях мы получим такую совокупность значений , что при любом
интервал
будет содержать а, на основании формулы (33) определяется соотношением
![]() | (58) |
Интервал имеет случайные границы
и
. Соотношение (58) справедливо для любого значения
. Вероятность
не зависит от конкретных значений, которые принимают случайные величины
и при возрастании числа измерений n в силу свойства функции Ф(х) возрастает (см. § 3, п. 4). Соотношение (58) показывает, что каковы бы ни были значения x1, x2, ..., xn полученные при измерении, имеет место формула
![]() | (59) |
где . Величина
называется средней выборочной. Формулой (59) в большинстве случаев пользоваться нельзя, так как обычно значение
неизвестно. Поэтому рассмотрим случай, когда обе величины а и
неизвестны.
Пусть случайная величина s2 определена соотношением
![]() | (60) |
где . Можно показать, что величина s2 имеет математическое ожидание, равное
, и дисперсию, равную
, т.е.
(доказательство не приводим ввиду громоздкости вычислений). Применим к случайной величине s2 вторую лемму Чебышева (см. § 5, п. 1):
где . Подставляя значения M(s2) и D(s2), получим
![]() | (61) |
Соотношение (61) показывает, что если , то
, т.е. s2 стремится по вероятности к
.
Рассмотрим величину
Так как есть одно из возможных значений s2, то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство
![]() | (62) |
где . Величину
называют выборочной дисперсией.
На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале , пользуются формулой (59), где вместо
подставляют ее приближенное значение
, найденное по формуле (62).
Итак, для достаточно больших значений n имеем
![]() | (63) |
где
![]() | (64) |
Интервал называется доверительным интервалом, а вероятность
— надежностью *.
Пример. Для определения процентного содержания хрома в стали были проделаны 34 измерения, результаты которых сведены в таблицу:
Найти доверительный интервал с надежностью Решение: Здесь n=34. Используя табличные данные, находим
При надежности Cледовательно, Из табл. II Приложения найдем В данном случае доверительный интервал Итак с надежностью |
Расчет по формуле (63) дает удовлетворительные по точности результаты при .
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1067;