Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.
Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида задаёт окружность с центром в точке радиуса . В частности, уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример 4
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением
– это окружность с центром в начале координат и радиусом .
Выполним чертёж:
Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна:
Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности выразить функцию «игрек» в явном виде:
Верхняя полуокружность задается уравнением
Нижняя полуокружность задается уравнением
Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.
Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.
Таким образом:
Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:
Проведём замену:
Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:
Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:
Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».
После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.
Осталось вычислить новые пределы интегрирования:
Если , то
Новый нижний предел интегрирования:
Новый верхний предел интегрирования:
Таким образом:
Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:
Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула ? А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).
Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула !
Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:
Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Вычислить определенный интеграл
По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 23500;