ЗАДАЧА 1

1. Исходные данные

В формируемой схеме каждая ветвь содержит источник ЭДС (п.1.1) и резистивный элемент (п.1.3), а одна из ветвей - только источник тока (п.1.2), подключенный к зажимам a, b согласно коду {К}. Индексы в обозначениях ЭДС и сопротивлений означают номера зажимов ветви, в которую включен данный элемент. Кроме того, индексация в обозначениях ЭДС и тока источников, а также заданного тока в ветви с зажимами e, f (п.1.4) означает их направление от зажима, обозначенного в индексе первым, к другому зажиму.

1.1. ЭДС источников E_cd = E_(5-c)(5-e)=50 В, E_(5-c)(5-f)= E_(5-f)(5-d)=

= E_(5-d)(5-e)=30 В, E_ef =?

1.2. Ток источника тока, подключенного к зажимам a, b, J_ab = 0,9А.

1.3. Сопротивления в ветвях с источниками ЭДС R_cd = R_df ==R_de = 80 Ом, R_ce = R_cf = R_ef =40 Ом.

1.4. Ток в элементе R_ef I_ef = 0,6 А.

2. Задание

1.Начертить схему согласно исходным данным, соединяя зажимы ветвей, пронумерованные одинаково, в один узел.

2.Произвести анализ схемы, определить число независимых уравнений Кирхгофа, составить и решить систему из этих уравнений.

3.Определить неизвестные токи и ЭДС, применив метод контурных токов.

4.Составить и рассчитать уравнение баланса мощностей.

5.Считая известными все ЭДС и ток источника тока, определить ток в элементе R_cd = R₃₄ → I₃₄ = ?, применив метод эквивалентного генератора. Попутно использовать методы узловых потенциалов и эквивалентных преобразований соединений резистивных элементов.

6. Считая известными все ЭДС и ток источника тока, определить ток в элементе R_cd = R₃₄ → I₃₄ = ?, применив метод узловых потенциалов в матричной форме.

7. Построить потенциальную диаграмму вдоль любого замкнутого контура.

3. Методические указания

3.1. При возникновении затруднений в составлении схемы по п.2.1 следует начертить каждую ветвь отдельно, пронумеровав ее зажимы, включить в нее элементы по п.1.1 -1.3, строго выдерживая направления ЭДС и токов по индексам обозначений. Пример формирования параметров и схемы приведен далее в п.4.1 задачи 2.

3.2. Анализ схемы при выполнении п.2.2 состоит в определении числа ветвей N_в , числа узлов N_у , числа независимых уравнений К₁ , К₂ , составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Решения системы уравнений в п.2.2 не требуется. Пример выполнения п.2.2 задания содержится в п.4.2 задачи 2.

3.3. При выполнении п.2.3 объем вычислительной работы можно сократить, если выбрать контуры так, чтобы ветвь ef с заданным током I_ef входила лишь в один контур. Контурные точки можно также определить, рассматривая ветвь с заданным током как ветвь с источником тока. После выполнения п.2.3 рекомендуется проверить результаты, подставив их в одно из уравнений, составленных в п.2.2 по второму закону Кирхгофа.

3.4. Перед выполнением п.2.5 следует произвести анализ схемы без ветви cd, т.е. определить число ветвей, узлов, независимых узловых уравнений. По найденным токам определяется ЭДС эквивалентного источника. Расчеты по п.2.5 не требуются.

Пример

Определение варианта к индивидуальному заданию

Шифр 807901

ЗАДАЧА 1

Исходные данные

В формируемой схеме каждая ветвь содержит источник ЭДС и резистивный элемент, а одна из ветвей - только источник тока, подключенный к зажимам a, b согласно коду {К}. Индексы в обозначениях ЭДС и сопротивлений означают номера зажимов ветви, в которую включен данный элемент. Кроме того, индексация в обозначениях ЭДС и тока источников, а также заданного тока в ветви с зажимами e, f означает их направление от зажима, обозначенного в индексе первым, к другому зажиму.

1. ЭДС источников E_cd = E_(5-c)(5-e)= E₃₄ = E₂₄ = 50 В,
E_(5-c)(5-f)= E_(5-f)(5-d)= E_(5-d)(5-e)= E₂₃ = E₃₁=E₁₄ = 30 В, E_ef = E₁₂ = ?

2. Ток источника тока, подключенного к зажимам a, b, J_ab = J₁₃ = 0,9А.

3. Сопротивления в ветвях с источниками ЭДС
R_cd = R_{d f} =R_de = R₃₄ = R₄₂ =R₄₁ = 80 Ом,
R_ce = R_cf = R_ef = R₃₁ = R₃₂ = R₁₂ = 40 Ом.

4. Ток в элементе R_ef = R₁₂ I_ef = I₁₂ = 0,6 А.

ЗАДАНИЕ

1.Начертить схему согласно исходным данным, соединяя зажимы ветвей, пронумерованные одинаково, в один узел.

2.Произвести анализ схемы, определить число независимых уравнений Кирхгофа, составить и решить систему из этих уравнений.

3.Определить неизвестные токи и ЭДС, применив метод контурных токов.

4.Составить и рассчитать уравнение баланса мощностей.

5.Считая известными все ЭДС и ток источника тока, определить ток в элементе R_cd = R₃₄ → I₃₄ = ?, применив метод эквивалентного генератора. Попутно использовать методы узловых потенциалов и эквивалентных преобразований соединений резистивных элементов.

6. Считая известными все ЭДС и ток источника тока, определить ток в элементе R_cd = R₃₄ → I₃₄ = ?, применив метод узловых потенциалов в матричной форме.

7. Построить потенциальную диаграмму вдоль любого замкнутого контура.
РЕШЕНИЕ

Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа

Согласно исходным данным составляем электрическую схему (Рис. 1). Произвольно выбираем направления токов в ветвях (кроме заданного направления тока I₁₂).

Составляем уравнения по правилам Кирхгофа.

По первому закону составим число уравнений равное числу узлов в схеме без единицы, т. е.: 4-1 = 3 уравнения:

узел 2: I₁₂ = I₂₃ +I₂₄
узел 3: J₁₃ +I₂₃ = I₃₁ + I₃₄
узел 4: I₁₄ + I₂₄ +I₃₄ = 0

По второму закону число уравнений равно числу ветвей схемы за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и числу ветвей, содержащих источники токов, т.е. 7 – 4 + 1 - 1 = 3 (обход контуров производится по часовой стрелке):

I₁₂ * R₁₂ + I₂₃ * R₂₃ + I₃₁ * R₃₁ = E₁₂ +E₂₃ + E₃₁

- I₂₃ * R₂₃ + I₂₄ * R₂₄ – I₃₄ * R₃₄ = - E₂₃ + E₂₄ – E₃₄

- I₃₁ * R₃₁ + I₃₄ * R₃₄ – I₁₄ * R₁₄ = - E₃₁ + E₃₄ - E₁₄

Объединим полученные системы в одну:

I₁₂ = I₂₃ +I₂₄
J₁₃ +I₂₃ = I₃₁ + I₃₄
I₁₄ + I₂₄ +I₃₄ = 0
I₁₂ * R₁₂ + I₂₃ * R₂₃ + I₃₁ * R₃₁ = E₁₂ +E₂₃ + E₃₁

- I₂₃ * R₂₃ + I₂₄ * R₂₄ – I₃₄ * R₃₄ = - E₂₃ + E₂₄ – E₃₄

- I₃₁ * R₃₁ + I₃₄ * R₃₄ – I₁₄ * R₁₄ = - E₃₁ + E₃₄ - E₁₄

Подставляя в полученную систему уравнений заданные значения токов, величины ЭДС, источника тока и сопротивлений, получаем систему алгебраических уравнений с шестью неизвестными:

I₂₃ + I₂₄ = 0.6

I₃₁ – I₂₃ + I₃₄ = 0.9

I₁₄ + I₂₄ +I₃₄ = 0

40*I₃₁ +40*I₂₃ – E₁₂ = 36

- 40*I₂₃ + 80*I₂₄ – 80* I₃₄ = - 30

- 40*I₃₁ – 80*I₁₄ + 80*I₃₄ = -10

Полученная система шести уравнений с шестью неизвестными имеет единственное решение. Для определения токов и ЭДС воспользуемся матричным методом решением системы алгебраических уравнений. Для этого представим данную систему в виде произведения матриц А*Х = В,решением которого будет уравнение Х = А^-1*В. Результаты решения получаем используя табличный процессор EXCEL:

Определение неизвестных токов и ЭДС методом контурных токов

Так как узлы 1 и 3 соединены двумя ветвями, прибегнем к замене этих ветвей одной эквивалентной, определив E_31Э (Рис.2).

Величину эквивалентной ЭДС Е_31Э определяем из разности потенциалов между узлами 3 и 1:

φ₃ = φ₁ + R₃₁*(I₃₁ + J) – E₃₁;

U₃₁ = φ₃ - φ₁ = R₃₁*(I₃₁ + J) – E₃₁ = R₃₁*I₃₁ + R₃₁ *J – E₃₁ = R₃₁*I₃₁ + Е_31Э .

Е_31Э = R₃₁ *J – E₃₁ =40*0,9 – 30 = 6 В (т.е. ЭДС Е_31Э имеет противоположное направление, как это показано в эквивалентной ветви).

I₃₁ = I_31Э + J.

Электрическая схема имеет следующий вид:

Для определения неизвестных величин методом контурных токов составляем основные уравнения для контуров:

R₁₁*I₁₁ - R₁₂*I₂₂ - R₁₃*I₃₃ = E₁₁

-R₁₂*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ - R₂₃*I₃₃ = E₂₂

-R₁₃*I₁₁ - R₂₃*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃

Применительно к заданной электрической схеме система имеет следующий вид:

(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁)*I₁₁ – R₂₃*I₂₂ – R₃₁*I₃₃ = E₁₂ + E₂₃ – E_31Э

- R₂₃*I₁₁ + (R₂₃ + R₂₄ + R₃₄)*I₂₂ – R₃₄* I₃₃ = E₂₄ – E₂₃ – E₃₄

- R₃₁*I₁₁ – R₃₄*I₂₂ + (R₃₁ + R₃₄ + R₁₄)*I₃₃ = E₃₄ – E₁₄ + E_31Э

Подставим заданные значения сопротивлений, тока I₁₁ = I₁₂ и ЭДС, получим:

- 40*I₂₂ – 40*I₃₃ – E₁₂ = - 48

200*I₂₂ – 80*I₃₃ = - 6

-80*I₂₂ + 200*I₃₃ = 50

Аналогично предыдущему, используем матричный метод для решения этой системы:

Токи в ветвях равны алгебраической сумме контурных токов:

I₂₃ = I₁₂ – I₂₂; I₃₄ = I₃₃ – I₁₂; I₁₄ = - I₃₃; I_31Э = I₁₂ – I₃₃; I₃₁ = I_31Э + J.

Энергетический баланс электрической цепи

Баланс мощностей рассчитываем для схемы, изображенной на рис. 1, так как схема на рис. 3 не эквивалентна ей в отношении энергии.

Общий вид уравнения энергетического баланса:

ΣI²*R = ΣE*I + U₃₁*J,

где U₃₁ = φ₃ – φ₁ = I₃₁*R₃₁ – E₃₁ = 18,667 В.

Расчет проведен в EXCEL:

	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
		R			E	E*I(J)
	R31		59,211	E31	30,000	36,5	1,217	I31
	R14		6,422	E14	30,000	-8,5	-0,283	I14
	R23		10,678	E23	30,000	15,5	0,517	I23
	R24		0,556	E24	50,000	4,1667	0,083	I24
	R34		3,200	E34	50,000		0,200	I34
	R12		14,400	E12	33,330	19,998	0,600	I12
				U31	18,667	16,8	0,9	J
			94,467			94,465

Таким образом, баланс мощностей рассчитан верно.

Расчет тока в ветви 3-4

Поскольку требуется определить ток лишь в одной из ветвей, целесообразно применить метод эквивалентного источника. Для этого вся остальная по отношению к выделенной ветви 3-4 часть цепи, содержащая источники и являющаяся активным двухполюсником, заменяется одним эквивалентным источником с элементами Е_э и R_э . Согласно этому методу ЭДС Е_э равна напряжению U_34x цепи с отключенной ветвью 3-4, а сопротивление R_э равно сопротивлению цепи без ветви 3-4 относительно зажимов 3,4. Тогда формула для определения тока в ветви имеет следующий вид:

где U_34X =φ₃ – φ₄ .

Схема принимает вид рис.4:

Для определения потенциалов точек 3 и 4 используем метод узловых потенциалов (φ₁ = 0):

Подставляя числовые значения в полученную систему уравнений, получаем:

Решаем данную систему аналогично предыдущему в EXCEL:

Находим напряжение холостого хода между узлами 3 и 4:

U_34X = φ₃ – φ₄ =22.667 – 44.667 = -22 В.

Составляем схему для определения R_Э относительно зажимов 3 и 4 (рис.5):

Преобразуем треугольник сопротивлений R₁₂ = R₂₃ = R₃₁ = 40 Ом в звезду сопротивлений R₁ = R₂ = R₃ = 40/3 Ом. Тогда эквивалентное сопротивление R_Э определяется по формуле:

Определяем ток в ветви 3-4:

, величина которого равна ранее рассчитанному току другими методами.