Свободные колебания

Свободные колебания возникают в электрических цепях, содержащих катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и сопротивление R, соединенные последовательно (рис. 1). Такая цепь называется колеба­тельным контуром. Если предварительно зарядить конденсатор от источника постоян­ной эдс. (ключ в положении 1), а затем перевести ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться и в цепи потечет ток, создающий в катушке

Рис. 1

индуктивности эдс самоиндукции, которая пре­пятствуют нарастанию тока. Магнит­ное поле ка­тушки растет, пока ток не достигнет максимума. При этом энергия элект­рического поля конденса­тора, за исключением потерь на сопротивлении R, перейдет в энергию магнитного поля, а кон­денсатор разрядится. В этот момент ток начинает

убывать, и эдс самоиндукции меняет знак, поддерживая убывающий ток. Конденсатор перезаряжается. Процесс заканчивается, когда заряд конденсатора достигнет максимального значения. В этот момент энергия магнитного поля катушки, за исключением потерь на сопротивлении R, пе­рейдет в энергию электрического поля конденсатора, а ток в цепи прекра­тится. Затем процесс повторяется в обратном порядке, и в контуре возникают свободные колебания заряда, тока и напряжения на конденсаторе и индук­тивности.

Пусть заряд на пластинах конденсатора в произвольный момент вре­мени - q, напряжение на обкладках конденсатора - U_c, а ток в цепи - I. Согласно второму правилу Кирхгофа в произвольный момент времени

где e_c – эдс самоиндукции.

Учитывая, что по определению сила тока I = , эдс самоиндукции e_c = - L× , а напряжение на обкладках конденсатора U_c = , выражение (1) можно представить в виде

L× + R× + = 0

или

(2)

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравне­ние затухающих колебаний, согласно которому на обкладках конденсатора происходит изменение заряда по закону

c амплитудой A = q₀×e^-b×t, частотой и начальной фазой j_o, где q₀ - начальный заряд конденсатора; b = - коэффициент затухания – величина, характеризующая быстроту затухания амплитуды колебаний с те­чением времени; - частота собственных колебаний – частота колебани­й, возникших бы в контуре при отсутствии сопротивления.

Из формулы (3) следует, что напряже­ние на пластинах конденсатора: меняется по закону

Uc = = Ucо×e-b×t×cos(wt + jo)

(4)

где U_cо = - напряжение на обкладках конденсатора в момент начала колеба­ний; U_са = U_cо×e^-b×t – амплитуда напряжения на конденсаторе.

Изменение напряженияна конденсаторе U_c со временем приведено на

рис. 2 (сплошная линия). Здесь же пунктиром показана зависи­мость амплитуды напряжения от времени. Быстрота затухания колебаний характеризу­ется логарифмическим декрементом затухания l – величиной, представ­ляющей собой логарифм отношения двух последовательных амплитуд:

Рис. 2

.

Из определения логарифмического декремента затухания вытекает его связь с коэффициентом затухания в виде

l = b×T = .

Тогда уменьшение амплитуды напряжения на конденсаторе в зависимости от числа колебаний можно представить в виде

U_са = U_cо×e ^{- l×N},

где N - число колебаний.

В электротехнике и радиотехнике для характеристики качества контура используется понятие добротности контура

Q = .

Очевидно, чем выше добротность контура Q, тем меньшеl и тем мед­лен­нее затухают колебания.

При малом затухании ( R ® 0) w » w₀ , тогда

l » и Q = .