Вынужденные колебания. Резонанс

Для того чтобы колебания не затухали, необходимо восполнять потери энергии в колебательном контуре на активном сопротивлении. Для этого в цепь (рис. 3) включается источник переменной во времени эдс, которая на-

Рис. 3

зывается вынуждающей. В простейшем случае эта эдс меняется по гармоническому закону e = eo×cos W×t, где eo и W - амплитуда и частота вынуждающей эдс. В этом случае по второму правилу Кирхгофа I×R + Uc = ec + eo×cos W×t, (5) или с учетом ранее принятых обозначений

.

(6)

Согласно полученному дифференциальному уравнению изменение за­ряда на обкладках конденсатора происходит по закону

с частотой W, равной частоте вынуждающей эдс,

амплитудой	(8)
и начальной фазой ,	(9)

представляющей собой разность фаз между колебаниями эдс и заряда.

Напряжение на пластинах конденсатора меняется по закону

	Uс = Ucm×cos(W×t - y)	(10)
с амплитудой ,	(11)

с частотой W равной частоте вынуждающей эдс и начальной фазой, рав­ной начальной фазе колебания заряда.

Векторная диаграмма напряжений на элементах колебательного контура, иллюстрирующая выражение (5), приведена на рис. 4. Как видно из диаграммы, на­пряжение на резисторе опережает по фазе напря­жение на конденсаторе на p/2, а напряжения на катушке и конденсаторе находятся в противофазах.

Рис. 4

График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от час­тоты вынуждающей эдс при различных значениях коэффициента затухания представлен на рис. 5. Как следует из приведенных кривых, при некоторой частоте эдс W_p происходит резкое увеличение амплитуды напряжения. Это явление получило название резонанса. Частота W_p, при которой амплитуда напряжений достигает максимального значения, называется резонансной частотой, а изображенные на рис. 5 кривые - резо­нансными кривыми.

Рис. 5

Из формулы (8) следует, что , а максимальное значение амплитуды напряжения . При W = Wp начальная фаза .

Если затухание мало (т.е. b << w_o, что обычно соответствует реальным колебательным контурам), то при W = W_p » ,

максимальная амплитуда напряжения на конденсаторе U_p » » Q×e_o,

а начальная фаза Y_p = arctg Q.

Из полученных выражений следует, что добротность контура есть ве­личина, показывающая во сколько раз максимальная амплитуда напряжения на конденсаторе больше амплитуды вынуждающей эдс.

Рис. 6

Следует отметить, что чем выше добротность контура, тем острее резонансная кривая и больше резонансное напряжение на конденсаторе. При хорошей добротности контура Q > 100 на­пряжение на конденсаторе при резонансной частоте отстает по фазе от вынуждающей эдс на p/2. При этом амплитуда на­пряжений на активном сопротивлении равна амплитуде выну­ждающей эдс, а амплитуда напряжений на конденсаторе равна амплитуде напряжений на индуктивности.

Векторная диаграмма напряжений при резонансной час­тоте в случае малого затухания приведена на рис. 6.