Указания к выполнению работы

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Число возможных различных опытов обычно велико, поэтому возникает вопрос их ограничения. Это с неизбежностью приводит к необходимости планирования эксперимента. Методика (техника) планирования эксперимента зависит от типа планов с соответствующими процедурами планирования.

Рассмотрим процедуру планирования эксперимента для отдельных типов планов на практическом примере конкретной научно-технической задачи.

1. Словесная формулировка научно-технической задачи включает сведения о совокупности идентификаторов исследуемого процесса (объекта), ожидаемом результате и условиях протекания процесса (совокупностях признаков), известных, необходимых для получения этого результата и неизвестных.

Словесная формулировка задачи приведена в выданном варианте задачи и требует только уточнения в части идентификаторов и условий исследуемого процесса на основе знаний, полученных при изучении дисциплин специальности.

Пример словесной формулировки задачи: исследовать касательные силы резания F_X при токарной обработке деталей в зависимости от подачи на резец S_O и угла резания d в дереворежущих токарных станках.

2. Математическая формулировка задачи включает перечень:

а) переменных факторов и диапазон их варьирования:

- подача на резец S_O º x ₁ и угол резания d º x ₂;

- диапазоны варьирования переменных факторов (условий процесса)

принимаем для подачи на резец 0,2 мм/об £ S_O £ 0,8 мм/об, а для угла резания 25° £ d £ 45°;

б) постоянных факторов и их уровней:

- порода – береза, влажность – 22%, частота вращения детали h=120 мин ^–1, радиус затупления лезвия r=4 мкм, точение осевое;

в) оценочных показателей – касательная сила резания, диапазон ее изменения Fx = 5…40 Н.

3. Определение уровней и интервалов варьирования факторов.

Верхние нижние и уровни факторов, соответственно минимальные и максимальные значения для их натуральных значений в исследовании установлены выше в П. 2.2. а: _{1 min} = 0,2 мм/об; _{1 max} = 0,8 мм/об; _{2 min} = 25° и _{2 max} = 45°.

Основной уровень фактора _{i 0} определяют по формуле:

.(1.1)

Значения основного уровня для подачи на резец по формуле (1.1) мм/об, угла резания .

Интервал варьирования определяют по формуле:

. (1.2)

Значения интервалов варьирования и для факторов по формуле (1.2) будут составлять: мм/об, .

Переход от натуральных значений факторов к нормализованным (кодированным) значениям выполняют по формуле

. (1.3)

Вычисляют по формуле (1.3) уровни и интервалы варьирования для нормализованных значений и факторов в исследовании

для подачи на резец

;

для угла резания

.

4. Матрица планирования полного факторного эксперимента типа ПФЭ 2^K (к - количество факторов, r=2 – количество уровней, на которых варьируется каждый фактор).

Планом полного факторного эксперимента называют такие планы экспериментов, в которых факторы варьируются на двух уровнях, а все возможные комбинации этих уровней встречаются одинаковое количество раз. В планировании эксперимента используются нормализованные значения факторов +1 и –1. Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам (вектор-строка), а столбцы – значениям факторов (вектор-столбец). Такие таблицы называются матрицами планирования экспериментов (МПЭ).

Для случая K переменных факторов и при их варьировании только на двух нижнем и верхнем уровнях (r=2) число опытов N для всех возможных сочетаний уровней факторов определяют по формуле

. (1.4)

На основании изложенного, матрица плана полного факторного эксперимента в общем виде может быть представлена в виде табл.1.1.

Таблица 1.1

Матрица плана ПФЭ 2 ^К (К=2) в общем виде

Номер опыта	Значения факторов	Значение выходной величины
1	2
	1 min 1 max 1 min 1 max	2 min 2 min 2 max 2 max	1 2 3 4

Для проведения эксперимента пользуются матрицей в явном виде или рабочей матрицей, приведенной в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Рабочая матрица ПФЭ 2 ^К (К=2)

Номер опыта	Натуральные значения факторов	Нормализованные значения факторов	Значение выходной величины
1, мм/об	2, град	1	2
	0,2 0,8 0,2 0,8		- 1 +1 - 1 +1	- 1 - 1 +1 +1	1 2 3 4

Для удобства расчета коэффициентов уравнения регрессии составляется расчетная матрица (или расширенная расчетная матрица) полного факторного эксперимента, представленная в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Расчетная матрица ПФЭ 2 ^К (К=2)

Номер опыта	0	1	2	3= 1 2	Значение выходной величины
	+1 +1 +1 +1	- 1 +1 - 1 +1	- 1 - 1 +1 +1	+1 - 1 - 1 +1	1 2 3 4

Вектор-столбец ₀ вводится для расчета коэффициента при нулевой степени значения фактора, а вектор-столбец ₃ – для расчета коэффициента во взаимодействиях факторов _{1 2}.

Уравнение, в виде которого представляется математическая модель, называется уравнением регрессии. Уравнение регрессии чаще всего записывают отрезком степенного ряда – алгебраическим полиномом. По результатам ПФЭ можно построить математическую модель, содержащую линейные члены и взаимодействие первого порядка

,(1.5)

где - расчетное значение выходной величины;

- коэффициенты, определяемые по результатам эксперимента,

.

Для нашего примера выражение (1.5) примет вид

. (1.6)

Общий анализ математической модели (1.6) включает анализ оценки знака при коэффициентах b_0, b_1, b_2, b₁₂ на значение выходной величины , относительной значимости факторов по абсолютной величине коэффициентов, важности установленной зависимости.

5. Матрица планирования для B-плана (плана Бокса). B-планы используются для построения планов 2-го порядка. Планами 2-го порядка называются такие планы многофакторного эксперимента, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полинома 2-го порядка. В общем случае для К факторов уравнение регрессии, записанное в виде полинома 2-го порядка, будет иметь вид

. (1.7)

Число коэффициентов регрессии r такого плана определяют по формуле

. (1.8)

Уравнение (1.7) позволяет оценить коэффициенты регрессии при

квадратичных членах , дает более детальное описание объекта, в связи с чем планы 2-го порядка часто используются на заключительном этапе эксперимента. В этих планах каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях.

Составной частью В-плана является план ПФЭ 2^К. Поставив дополнительно некоторое число опытов, получают В-план в целом и соответствующую математическую модель в виде полинома 2-го порядка. Это свойство В-плана называют композиционностью. Факторы в В-планах варьируются на трех уровнях: -1; 0; +1 в нормализованных обозначениях.

Назовем звездной точкой В-плана условия опыта, в котором один из факторов принимает значение +1 или –1, а остальные значения факторов фиксируются на основном уровне (ноль в нормализованных значениях). Например, звездная точка для трех факторов: x₁= +1, x₂=0, x₃=0 и т.д. Очевидно, для K факторов имеется 2 K различных точек, а общее число опытов N В-плана составит

. (1.9)

Матрица планирования В-плана для двух факторов приведена в табл. 1.4 (число опытов по формуле (1.9) будет равно N=2²+2 2=8).

Таблица 1.4

Матрица планирования В-плана, K=2

Наименование составной части В-плана	Номер опыта	Значение фактора	Значение выходной величины
Ортогональная часть В-плана (ПФЭ 2К)		-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	y1 y2 y3 y4
Звездная часть		-1		y5

Окончание табл.1.4

6. Матрица планирования для униформ-рототабельного плана (УРП) второго порядка. Каждый фактор УРП 2-го порядка, варьируются на пяти уровнях: -a, -1, 0, +1.+a, где a носит название звездного плеча – число больше единицы.

Число a используют при построении некоторых опытов, которые входят в УРП и называются звездными точками плана. В этих опытах один фактор фиксируют на уровнях ±a, а остальные - на основном. Таких опытов в УРП – 2К. Звездное плечо a определяется из выражения для ПФЭ 2^К:

, (1.10)

дробного факторного эксперимента (ДФП):

. (1.11)

В УРП входят опыты ПФЭ 2^К, звездные точки – 2К и некоторое количество точек в центре плана. Число центральных точек n_ц выбирается из условия униформности плана и может быть принято: n_ц=5для К=2, n_ц=6 для К=3 и n_ц=7 для К=4.

С учетом изложенного, матрица планирования униформ-рототабельного плана для двух факторов в нормализованных обозначениях может быть представлена в форме табл. 1.5 (число опытов N=2²+2 2+5=13 по формуле (1.10) ).

Таблица 1.5

Матрица планирования УРП для К=2

Наименование составной части УРП	Номер опыта	Значение фактора	Значение выходной величины
Ортогональная часть УРП (ПФЭ 2К)		-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	y1 y2 y3 y4
Звездная часть УРП		-1,414 +1,414	-1,414 +1,414	y5 y6 y7 y8

Окончание табл.1.5

Уравнение регрессии в виде полинома 2-го порядка для двух факторов и для нашего случая, с учетом выражения (1.7), будет иметь вид

. (1,12)