Лабораторна робота № 2. Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці

Згідно варіанту завдання (дод. 1) побудувати двофакторну лінійну регресійну модель залежності продуктивності праці (Y, тис.грн./чол.) від втрат робочого часу, (Х₁) та коефіцієнту використання потужностей (Х₂ ). Необхідно:

1. Знайти параметри моделі.

2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.

3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Розв’язання.

1. Економічний зміст змінних:

Y – продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ – рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна);

Х₂ – коефіцієнт використання потужностей, % (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + u,

де а₀, а₁, а₂ – параметри моделі; u – залишки, інші невраховані чинники.

2. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені
в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

4. Для визначення коефіцієнтів регресії а₀, а₁ та а₂, складаємо систему нормальних рівнянь:

а₀ N + а₁ åX₁ + а₂ å X₂ = å Y

а₀ å X₁ + а₁ å(X₁)² + а₂ å X₁ X₂ = å Y X₁ (2.1)

а₀ å X₂ + а₁ å X₁ X₂ + а₂ å (X₂)² = å Y X₂

де n – кількість спостережень, n = 15.

Всі суми обраховуються на основі вихідних статистичних даних
в таблиці 2.2.

5. На основі рівняння 2.1 та обрахованих сум в таблиці 2.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ ×15 + а₁ × 80,9 + а₂ × 1029,3 = 237,4

а₀ × 80,9 + а₁ × 530,07+ а₂ × 5260,28 = 1196,84

а₀ × 1029,3 + а₁ × 5260,28 + а₂ × 71690,15 = 16554,47

В результаті розв’язання системи отримуємо значення:

а₀ = 18,052, a₁ = –0,797, a₂ = 0,03.

Таким чином, рівняння регресії буде мати вигляд:

Y_розр = 18,052 – 0,797 × Х₁ + 0,03 × Х₂ .

6. Визначимо коефіцієнти детермінації для даної моделі.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

.

;

.

Таблиця 2.2

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

.

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,977 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 97,7 % визначається варіацією незалежних змінних Х₁ та Х₂ і лише 2,3 % змін Y припадає на невраховані чинники.

7. Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

8. Відносна похибка:

9. Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 76,07: 1,49 = 51,08

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,5 ;

F_розр. > F⁹⁵_табл.

Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв'язку.

10. Коефіцієнт множинної кореляції

;

, що свідчить про вельми високий зв’язок між показниками Y та X₁ , X₂ .

11. Коефіцієнт регресії а₁ = – 0,797 показує, що зниження втрат робочого часуна 1 тис. год./рік може привести до роступродуктивностіпраці на 0,797 тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії а₂ = 0,03 показує, що підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,03 тис.грн./чол.

12. Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y-Х₁ та Y-Х₂. При цьому масштаб необхідно вибрати таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁ та X₂ співпадали між собою.

13. Відносна зміна залежної змінної Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁ та Х₂ характеризують коефіцієнти еластичності Е₁ та Е₂, які розраховуються за наступною формулою:

де а_і – коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

– середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

– середнє значення залежної змінної (розрахункове).

Розраховані коефіцієнти еластичності дають можливість побудувати графік еластичності:

14. Порівняємо дві моделі (лаб.№1 та лаб. №2)

Коефіцієнти кореляції r = 0,9879 та r = 0,9902 свідчать про те, що залучення другої змінної Х₂ збільшує тісноту зв’язку між залежною і факторами. Середньоквадратична похибка зменшилася з 0,3413 до
0,3261 тис.грн./рік. Відносна похибка зменшилась з 2,157% до 2,06%.

15. Висновок.

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу і коефіцієнту використання потужності можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві збільшення продуктивність праці обумовлюється зменшенням втрат робочого часу. Так, при зменшенні втрат робочого часу на кожну 1 тис.год./рік, продуктивність праці збільшиться на 0,797 тис.грн./чол.

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці зросте на 0,03 тис.грн./чол.

Тема: «Методи Побудови множинних економетричних моделей»