Тема 2. Элементы векторной алгебры.

Основные теоретические сведения.

1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

(1)

где угол между векторами и .

2. Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле

(2)

3. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , , образуют правую тройку (рис. 1):

Рис.1

(3)

.

Геометрически равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :

.

4. Смешанное произведениетрех векторов , , есть число, равное

(4)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Пример 1. По координатам вершин пирамиды

найти: 1) длины ребер и 2) угол между ребрами и 3) площадь грани 4) объем пирамиды

Решение.1)Находим векторы и

Длины этих векторов, т. е. длины ребер и , таковы:

;

2) Скалярное произведение векторов и находим по формуле (1):

а косинус угла между ними–по формуле (2):

Отсюда следует, что тупой угол, равный рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами и .

3) Площадь грани равна половине параллелограмма, построенного на векторах и , т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]:

Здесь определить вычисляется с помощью разложения по первой строке. Cледовательно,

4) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах Вектор Используя формулу (4), получаем