Тема 1. Элементы линейной алгебры.
Основные теоретические сведения.
1. Определителем(детерминантом) n-го порядка называется число , равное алгебраической сумме n!членов, составленных определенным образом из элементов
определителя. Обозначение:
=det[
]=
. (1)
Алгебраическим дополнением элемента
определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на
.
Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид
.
(разложение определителя по элементам i-й строки).
Определитель второго порядка
=
.
2. Матрицей А=( ) размера
называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
А = .
Произведением матрицы А=( ) размера
на матрицу В=(
) размера
называется матрица С=АВ=
размера
с элементами
(2)
(поэлементное умножение i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы В).
Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы
образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается
или det A.
Матрица Е с элементами =
называется единичной матрицей n-го порядка.
Матрица называется обратной к матрице А (det A
0), если
А=А
=Е. (3)
Элементы обратной матрицы А
=(
) вычисляется по формулам
, (4)
где –алгебраическое дополнение элемента
, матрицы А, а
ее определитель.
3. Матрица называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например,
.
Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавление к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.
Матрицы переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: А~ .
Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A)=r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
4. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет вид:
(5)
где коэффициенты системы;
свободные члены. Определитель третьего порядка
, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Если
, то единственное решение системы (2) выражается формулами Крамера:
(6)
где определители третьего порядка, получаемые из определителя системы
заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами
Систему (2) можно записать в матричной форме: АХ=В, где
,
,
Тогда ее решение имеет вид:
, (7)
если определитель системы отличен от нуля.
Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.
, (8)
то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n-r неизвестных выбирают произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.
5. Вектор столбец:
называется собственным векторомквадратной матрицы
го порядка соответствующим собственному значению
, если он удовлетворяет матричному уравнению
, или
Здесь единичная матрица
го порядка, а
нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор
, получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений
:
det (9)
Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению
, являются решением системы уравнений
(10)
Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
Пример 1. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений:
(11)
Решение.Вычислим определитель системы:
=
Так как , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. (6). Для этого найдем
:
,
Подставляя найденные значения определителей в формулы (6), получаем искомое решение системы:
Пример 2. Найти решение системы примера 1 с помощью обратной матрицы.
Решение. Здесь
,
,
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля (см. пример 1): , то матрица
имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы
вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы
:
Согласно формуле (2), матрица , обратная к
, имеет вид:
Проверим правильность вычисления , исходя из определения обратной матрицы (3) и используя формулу (2):
Матричное решение системы (11) в силу формулы (7) имеет вид:
oткуда следует (из условия двух матриц), что
Пример 3. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы:
Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:
или
oткуда следует, что матрица имеет два собственных значения
и
Собственный вектор
соответствующий
, определяется из системы уравнений вида:
или
которая сводится к одному уравнению . Пологая
, получаем решение в виде
Следовательно, первый собственный вектор есть
Второй собственной вектор соответствующий собственному значению
определяется из системы уравнений вида:
Эта система уравнений также сводится к одному уравнению пологая
запишем ее решение в виде
. Следовательно, второй собственный вектор есть
Таким образом, матрица имеет два собственных различных значения
и
и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя)
,
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 1021;