Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей
Система зарядов | Напряженность поля | II потенциал |
Точечный заряд Q | E = Q/4πε0r2 | φ =Q/4πε0r φ∞ = 0 |
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ | E = σ/2ε0 | |
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d | 0 ≤ r ≤ d: E= 0 r < 0; r > d: E = σ/ε0 | |
Равномерно заряженная сфера радиусом R | 0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 | 0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r |
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R | 0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 | 0 < r < R: r = R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r |
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ | r < R: E = 0 r = R: E = τ/2πε0R; r > R: E = τ/2πε0r | r < R: φ = τ/2ε0 r > R: |
Пример 11.В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).
Условие:
R = 2 см = 0,02 м;
r1 = 1,0 см =0,01 м;
r2= 2,0 см = 0,02 м;
Е1 - ? Е2 - ? Е(r) - ?
Решение. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии - прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра радиальны. Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду.
Характер функциональной зависимости Е(г) для точек лежащих внутри и вне объемного заряда различен. Поэтому следует провести две вспомогательные поверхности S1 и S2 с радиусами r1 < R и r2 > R. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде
(1)
Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся в заведомо разных условий относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов Е dS = π/2 и поток вектора напряженности сквозь торцевые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S1,2 бок нормаль совпадает с направлением радиуса-вектора, поэтому EdS = ErdS и
ErdS. (2)
Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Еr(г) постоянной величиной. Тогда
ErdS = Er2πrh, (3)
где r и h - радиус и высота вспомогательной поверхности.
Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (3), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При r < R Q = ρπr2h, (4)
где r – расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S1.
Подставляя выражение (3) в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S1 правой частью равенства (4) получаем
E12πrh = ρπr2h/ε0,
откуда E1 = ρr/2ε0, (5)
Е1 = 1,1·103 В/м.
При r > R Q = ρπR2 h .
Подставляя (3) в (31) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 правой частью равенства (4) получаем
E22πrh = τπR2h/ε0.
Откуда E2 = ρR2/2ε0r. (6)
Е2 = 1,5·103 В/м.
Для построения графика Е(г) на оснований выражений (5) и (6) целесообразно рассчитать Еr при г = R: Е(R) = ρR/2ε0 = 2,3∙103 В/м.
Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е(г) показана на рис. 11.
ТЕМА 9. ДИЭКТРИКИ, ПРОВОДНИКИ И КОНДЕНСАТОРЫ
9.1. Диэлектрики. Электрическое поле в диэлектриках
Электрический момент диполя: где – плечо диполя |
Поляризованность: P = σ´, где V – объем диэлектрика; pi -дипольный момент i -й молекулы; n0 – концентрация молекул; σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов. |
Связь между поляризованностью и напряженностью электростатического поля: P = æε0E, где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества |
Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества: ε = 1 + æ |
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля: . Связь между векторами электростатического смещения, напряженностью и поляризованностью: |
Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку: dФD = = DdScos α = DndS, где –вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Dn –составляющая вектора по направлению нормали n к площадке |
Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: Фd = = DdScos α = DndS = , где - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности. |
9. 2. Электроемкость проводникoв и конденсаторов
Электроемкость уединенного проводника: где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника. Электроемкость проводника, помещенного в диэлектрик: C = εC0 Электроемкость шарового проводника: C = 4πε0εR где R–радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды |
Электроемкость конденсатора: C = , где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок; ∆φ - разность потенциалов между обкладками |
Емкость плоского конденсатора: где S - площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами |
Емкость цилиндрического конденсатора: , где l – длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров |
Емкость сферического конденсатора: где r1 и r2 - радиус концентрических сфер |
Емкость системы конденсаторов последовательное соединение: 1/ C = 1/ Ci; параллельное соединение: C = Ci, где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее. |
8.3 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: Wn = Qiφi/2, где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i–го |
Энергия уединенного заряженного проводника: Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C, где Q– заряд ; C –электроемкость, φ –потенциал проводника |
Энергия заряженного конденсатора: Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C, где ∆φ - разность потенциалов между обкладками |
Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): , Где S– площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора |
Объемная плотность энергии: w = ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2, где D - электрическое смещение |
Энергия электрического поля Wn = w dV |
Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы): F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0 )= εε0E2S/2 |
Пример 12.Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 1,5 кВ, зажата парафиновая пластинка (ε = 2) толщиной d = 5 мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.
Условие:
U = 1,5 кВ = 1,5∙103 В;
ε = 2;
d = 5 мм = 5·10-3 м;
σ′ - ?
Решение. Вектор электрического смещения D =ε0E +P, где Е – вектор напряженности электрического поля, Р – вектор поляризации.
Так как векторы D и Е нормальны к поверхности диэлектрика, то D = Dn, E = En.
Тогда можно записать D = ε0E + P, где Р = σ′ , т.е. равна поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика. Тогда
σ′ = D – εε0E.
Учитывая, что D = εε0E и E = U/d, где d – расстояние между обкладками конденсатора, найдем
σ′ = (ε - 1)ε0Е = ε0(ε - 1)U/d =2,65 мкКл/м2.
Пример 13.Определить ускоряющую разность потенциалов Δφ, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла от v1 = 1,0 Мм/с до v2 = 5,0 Мм/с.
Условие:
v1 = 1,0 Мм/с = 1,0·106 м/с;
v2 = 5,0 Мм/с = 5,0·106 м/с ;
е = 1,6·10-19 Кл;
m = 9,1·10-31 кг;
Δφ - ?
Решение. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2
А = е Δφ. (1)
С другой стороны, она равна изменению кинетической энергии электрона
А = W2 – W1 = mv22/2 - mv12/2. (2)
Приравняв выражения (1) и (2), найдем ускоряющую разность потенциалов
Δφ = m (v22 – v12)/2e = 68, 3 В.
Пример 14.К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Δφ1 = 1,5 кВ. Площадь пластин S =150 cм2 и расстояние между ними d = 5,0 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли стекло (ε = 7). Определить: 1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) емкость конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда σ на пластинах до и после внесения диэлектрика.
Условие:
Δφ1 = 1,5 кВ =1,5·103 В;
S = 150см2 = 1,5·10-2 м2;
d =5 мм = 5·10-3 м;
ε1 = 7, ε2 = 1;
Δφ2 - ? С1 -? С2 - ?
σ1 - ?, σ2 - ?
Решение. Так как Е1 = Δφ1/d = до внесения диэлектрика и E2 = Δφ2/d = после внесения диэлектрика, поэтому
и
Δφ2 = ε1Δφ1/ε2 = 214 В.
Емкость конденсатора до и после внесения диэлектрика
С1 = 4πε1ε0S/d = 26,5 пФ, C2 = 4πε1ε0S/d = 186 пФ.
Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т. е. Q = const. Поэтому поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика
σ1 = σ2 = Q/S = C1Δφ1/S = C2Δφ2/S = 2,65 мкКл/м2.
ТЕМА 10. Постоянный электрический ток
10.1. Электрический ток, сила и плотность тока
Сила тока Единица силы тока - 1 А (ампер) Сила постоянного тока: =const Плотность тока: Единица плотности тока - 1 А/м2 Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt,: dQ = ne<v>Sdt, где n и e – концентрация и заряд носителей тока, <v> - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов Сила тока: Плотность тока: |
10.2. Электродвижущая сила (ЭДС). Напряжение
ЭДС: , где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo Работа сторонних сил по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути: , где - напряженность поля сторонних сил. ЭДС, действующая в цепи,: ЭДС на участке цепи |
Сила, действующая на заряд в проводнике: Работа результирующей силы на участке 1-2 зарядом Q0: Для замкнутой цепи: Напряжение на участке 1-2: |
10.3. Сопротивление проводников
Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения S где - удельное электрическое сопротивление Единица измерения сопротивления – Ом Единица измерения удельного сопротивления – Ом.м Электрическая проводимость: Единица измерения электрической проводимости – См (сименс) Удельная электропроводимость: Единица измерения удельной электропроводности – См-1 Зависимость сопротивления от температуры: , где - температурный коэффициент сопротивления, К-1, t – температура, 0С. |
10.4. Последовательное и параллельное соединение проводников
Соединение | Последовательное | Параллельное |
Постоянная величина | I1 = I2 = …=In I=concs | U1=U2=…Un U=const |
Суммируемая величина | Напряжение | сила тока |
Результирующее сопротивление | ||
10.5. Закон Ома для однородного участка и замкнутой цепи.
Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источника тока): , |
Закон Ома в дифференциальной форме: |
Закон Ома для замкнутой цепи: где R –сопротивление внешней цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока. Напряжение на внешней цепи: Ток короткого замыкания: |
Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов: где n- число элементов в батарее |
Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов: где n – число элементов в батарее |
Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею: где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви. |
Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома): где - действующая на участке 1-2 ЭДС, - разность потенциалов, приложенная к концам проводника. |
10.6. Анализ обобщенного закона Ома
Источника тока нет: | Из ОЗО: | Закон Ома для однородного участка цепи | |
Цепь замкнута | Из ОЗО: где R- сопротивление всей цепи | Закон Ома для замкнутой цепи | |
Цепь разомкнута: I=0 | Из ОЗО : | ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах |
10.7. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
Первое правило Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: |
Второе правило Кирхгофа: В любом замкнутом контуре: |
10.8. Работа и мощность тока
Элементарная работа электрического тока: dA= Udq = IUdt = I2Rdt = |
Работа электрического тока: A= IUdt = I2Rdt = Единица работы – Дж (джоуль) Внесистемная единица работы 1квт.ч= 3,6 МДж=.3,6.106 Дж |
Работа постоянного электрического тока: A= Uq = IUt = I2Rt = |
Мощность электрического тока: Единица мощности – Вт (ватт) |
Закон Джоуля - Ленца: dQ= Udq = IUdt = I2Rdt = Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: Q== IUdt = I2Rdt = |
Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока Q= Uq = IUt = I2Rt = |
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: , где - удельная тепловая мощность тока |
Коэффициент полезного действия источника тока (КПД): |
Пример 15.Найти сопротивление R , железного стержня диаметром d = 1 cм, если масса стержня m = 1 кг.
Условие:
d = 1 см = 0,01 м
v = 1 кг
=0,087 мкОм.м=8,7.10-8 Ом.м.
=7,7.103 кг/м3
R -?
Решение:
-Сопротивление стержня определяется по формуле
,
где удельное сопротивление железа, -длина стержня и площадь поперечного сечения.
Масса проволоки
,
где V - объем стержня, - плотность стали.
Откуда длина стержня равна:
,
поскольку площадь поперечного сечения стержня
Тогда сопротивление стержня равно:
тЕМА 11. Магнитное поле
11.1. Основные характеристики магнитного поля
Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле где pm-магнитный момент рамки с током, - магнитная индукция; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором |
Магнитный момент рамки с током S – площадь поверхности контура (рамки); - единичный вектор нормали к поверхности рамки |
Магнитная индукция где Ммах – максимальный вращающий момент Единица измерения индукции магнитного поля: Тл (тесла)= 1Н/А.м |
Магнитная индукция: , где - вектор напряженности магнитного поля, А/м - магнитная проницаемость среды, - магнитная постоянная |
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: Магнитная индукция результирующего поля равна: где Вi – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся зарядом) в отдельности |
11.2. Закон Био -Савара – Лапласа и его применение
Закон Вио – Савара – Лапласа: Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током I в некоторой точке равна: , где - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля. Скалярная форма записи закона Био – Савара – Лапласа имеет вид: где - угол между и . |
Магнитное поле прямого тока: , где - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника, r – расстояние до проводника Магнитное поле бесконечного прямого тока: |
Магнитное поле в центре кругового витка радиусом r: |
Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра = где – магнитный момент витка с током I |
Магнитное поле на оси соленоида конечной длины: , где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины, N, L – соответственно, число витков и длина соленоида, - углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы Максимальная индукция в центре соленоида равна: , где r – радиус витка соленоида. |
11.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.
Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током I , где - угол между и . Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I: Сила Ампера, действующая в однородном магнитном поле на прямолинейный проводник: , где -угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором |
Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга: |
11.4. Магнитное поле движущегося заряда
Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерялитивистской скоростью , где - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения, - угол между и . |
11.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле
Сила Лоренца: где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией угол между и |
Формула Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля с индукцией и электрического поля с напряженностью : |
1. В однородном магнитном поле, если угол между и равен 0 или , сила Лоренца Fл=0, то частица движется равномерно и прямолинейно 2. Если угол = /2, тогда , частица движется по окружности радиуса: , период обращения частицы равен: 3. Заряженная частица движется со скоростью под углом к вектору , возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии: Радиус спирали равен: |
11.6 Теорема о циркуляции вектора (закон полного тока для магнитного поля в вакууме) и ее применение к расчету магнитных полей
Теорема о циркуляции вектора : Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: где - составляющая вектора в направлении касательной к контуру с учетом (выбранного обхода), - угол между векторами и |
Магнитное поле на оси бесконечно длинного соленоида (цилиндрической катушки): |
Магнитное поле внутри тороида (кольцевой катушки): , где N- число витков, r – расстояние от центра тороида. |
Пример 16.Ток I =20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S = 1 мм2, создает в центре кольца напряженность Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки. образующей кольцо?
Условие:
I=20 A
S = 1 мм2 = 10-6 м2
Н = 178 А/м
мкОм.м=1,7.10-8 Ом.м
U-?
Дата добавления: 2014-12-02; просмотров: 4782;