Типовая задача 7

Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1. Так как функция не определена при х + 1 0 (х –1), то D(y) = .

Функция является ни четной, ни нечетной, так как D(y) не является симметричной относительно начала координат.

Функция является непериодической.

Находим асимптоты.

х = –1 — точка разрыва. Если х будет стремиться к (–1) слева, оставаясь меньше (–1), то (х + 1)² — положительная бесконечно малая функция, а — положительная бесконечно большая функция, т. е. если , то (х + 1)² +0, а , или .

Аналогично показывается, что .

Делаем вывод, что прямая х = –1 — вертикальная асимптота
графика.

Для нахождения наклонных асимптот у = k · x + b при
находим пределы:

k = = = =
= = = = 0,

b = = = =
= = = 1.

Таким образом, у = 1 — горизонтальная асимптота графика.

Аналогичным образом показывается, что у = 1 — горизонтальная асимптота и при х .

5. = =
= = = .

6. Находим критические точки. Решаем уравнение y' = 0:

= 0 x = 1.

Точка х = –1, в которой производная не существует, не принадлежит D(y). Точка х = 1 D(y). Поэтому х = 1 — единственная критическая точка.

7. Критическая точка х = 1 разбивает область определения на интервалы. Определим знак первой производной у' на каждом интервале (рис. 14).

Рис. 14

Составим следующую таблицу:

х	(– ; –1)	–1	(–1; 1)		(1; )
y'	+	Не существует	–		+
у	Возрастает	Не существует	Убывает		Возрастает
		Экстремума нет		min

8. = =
= = =
= = .

9. Решим уравнение : = 0.

Отсюда х = 2.

Точка х = –1, в которой вторая производная не существует, не принадлежит D(y). Точка х = 2 D(y). Определим знак второй производной на области определения (рис. 15).

Рис. 15

Составим следующую таблицу:

х	(– ; –1)	–1	(–1; 2)		(2; )
y''	+	Не существует	+		–
у		Не существует		1/9
	График вогнутый	Перегиба нет	График вогнутый	Точка перегиба	График выпуклый