Понятие производной

Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел =
= отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Производная функции y = f(x) обозначается через , f'(x), .

Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если она в этой точке имеет конечную производную.

Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Геометрический смысл производной функции y = f(x) в точ-
ке х₀ состоит в том, что производная в точке х₀ f'(x₀) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке
с абсциссой х₀ (рис. 11).

Рис. 11

В экономике существует несколько интерпретаций производной. Среди них можно упомянуть следующие:

1. Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода R по количеству товара Q.

2. Предельные издержки определяются как производная издержек производства R по количеству товара Q.

Таким же образом определяются предельная выручка, предельный продукт и другие предельные величины, характеризующие не состояния, а процесс изменения какого-либо экономического показателя.

Правила вычисления производных:

1. Производная постоянной функции равна нулю, т. е. c' = 0.

2. Производная независимого аргумента х равна 1, т. е. х' = 1.

3. Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна соответствующей алгебраической сумме производных функций-слагаемых, т. е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций u
и v вычисляется по формуле .

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е. (с · u)' = с · u'.

5. Производная частного дифференцируемых функций u и v вычисляется по формуле .