Предел и непрерывность функции
Пусть X и Y — некоторые множества, и пусть каждому поставлен в соответствие по определенному правилу f единственный элемент . Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной со значениями в множестве Y. Обозначение: y = f(x). В этом случае X — область определения функции. Обозначение: D(f).
Всякий интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0.
Пусть . Интервал (x0 – ; x0 + ) называется -окрестностью точки x0.
Определение предела функции по Коши. Пусть функция y = f(x) определена в -окрестности точки x0 за исключением, быть может, точки x0. Тогда, если для любого , сколь угодно малым бы оно ни было, существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , то число B называется пределом функции в точке x0. Обозначение: .
Число В называется пределом функции f(x) в бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение: .
Если для всех и выполняется неравенство , то . Если для всех и выполняется неравенство , то .
Рассмотрим , ( ). Если существует предел функции при х, стремящемся к х0, то он называется левым (правым) пределом функции в точке х0. Обозначение: .
Факт существования в точке х0 предела функции у = f(x) равносилен факту существования в этой точке равных между собой односторонних пределов .
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции (рис. 10).
Рис. 10 |
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т. е. .
Функция f(x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Дата добавления: 2014-12-02; просмотров: 1127;