Типовая задача 3

Даны векторы = (2;–1;3), = (1;2;–3), (0;1;2), = (–1;9;–13)
со своими координатами в базисе . Показать, что векторы , , сами образуют базис, и найти разложение вектора в новом базисе.

Решение. Вычисляем определитель, составленный из координат этих векторов: .

По теореме 1, сформулированной выше, векторы , , образуют базис пространства R³.

Пусть — разложение вектора по базису , , .

По условию задачи имеем:

–1· + 9 · – 13 · = · (2 · – 1 · + 3· ) +
+ · (1 · + 2 · – 3 · ) + · (0 · + 1 · + 2· ),
–1· + 9 · – 13 · = (2 · + 1 · + 0 · ) · +
+ (–1 · + 2 · + 1 · ) · + (3 · – 3 · + 2 · ) · .

Из условия равенства двух векторов получим:

[1]: Обе части второго уравнения умножим на (–1). Поменяем местами первое и второе уравнения.

[2]: Обе части первого уравнения умножим на (–2) и прибавим соответственно ко второму уравнению. Затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и прибавим соответственно к третьему уравнению.

[3]: Обе части второго уравнения разделим на 5.

[4]: Обе части второго уравнения умножим на (–3) и прибавим соответственно к третьему уравнению. Из третьего уравнения системы = 1. Подставим это значение во второе уравнение и получим = 3. Подставляя полученные значения = 3, = 1 в первое уравнение, найдем = –2.

Итак, .

Ответ: .