Как выполнить экзаменационное задание
Экзаменационное задание предполагает использование большинства разделов, изложенных в темах 1 - 7 учебно-методических материалов, а именно:
решение систем уравнений;
вектор, направляющие косинусы, длина вектора, угол между векторами, операции над векторами;
уравнение прямой на плоскости;
построение графика функции;
кривые второго порядка и их уравнения;
уравнение плоскости в пространстве;
формулы и правила дифференцирования функции одной переменной;
исследование на экстремум;
дифференциальное исчисление функции двух переменных, приложения.
Все эти вопросы можно найти в любом стандартном учебнике по математическому анализу и линейной алгебре для студентов вузов. Список нужной литературы прилагается в темах 1 - 7 учебно-методических материалов.
В экзаменационном задании предлагается функция двух переменных 
для которой нужно провести исследование на экстремум, найти наибольшее и наименьшее её значения в замкнутой области, решить несколько прикладных геометрических и физических задач. Каждая конкретная задача проанализирована и подробно решена в тексте (номер примера и номер параграфа указан). Тем не менее, ниже приведён пример выполнения одного экзаменационного задания.
1. Исследовать на экстремум функцию 
Данная функция 
определена при всех 
и 
Найдём критические точки функции, для чего используем необходимые условия существования экстремума:
Решим систему: 
или 
Из первого уравнения: 
или 
и 
имеем четыре корня 
и 
Принимая во внимание второе уравнение системы 
получим Р1(2,1), Р2(-2,-1), Р3(1,2), Р4(-1,-2) — четыре критические точки.
Чтобы установить, в какой из них существует экстремум, используем достаточные условия. Составим выражение 
и вычислим его в каждой критической точке.
Вычислим значение 
в каждой точке. 
т.е. в точке Р1(2,1) есть экстремум, а т.к. 
то точка Р1(2,1) – точка минимума.
и 
точка Р2(-2,-1) – точка максимума.
т.е. в точке Р3(1,2) – нет экстремума.
т.е. в точке Р4(-1,-2) нет экстремума.
Остаётся вычислить минимальное и максимальное значения функции:
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области, которая представляет собой четырёхугольник с вершинами О(0,0), А(3,1), С(3,3), В (0,-2).
Построим данные точки и составим уравнения сторон четырёхугольника.
|
Прямая АС имеет уравнение: х=3.
Прямая ОС имеет уравнение: у=х.
Уравнение прямой АВ получим как уравнение прямой, проходящей через две точки (х1,у1) и (х2,у2).
Пусть 
Отсюда 
или 
Ранее были получены четыре критических точки этой функции: Р1(2,1), Р2(-2,-1), Р3(1,2), Р4(-1,-2), из которых только одна точка Р1(2,1) принадлежит данной области. (Кстати, ОВАС - параллелограмм). Значение функции в точке Р1 
Остальные не интересуют.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на границе данной области, которая состоит из четырёх отрезков разных прямых.
На ОС: у=х. Подставим в данную функцию выражение для у (у=х) и получим функцию только одной переменной х. Обозначим её 
или 
где 
Найдём её производную и приравняем её к нулю: 
Получим две критические точки 
и 
из которых только принадлежит отрезку [0,3]. Так как у=х, то 
и мы получим точку 
значение в которой 
Значения функции 
на концах отрезка [0,3] и значения данной функции в точках (0,0) и (3,3) попарно совпадают, т.е.
На АС: х=3. Подставим в функцию х=3, получим функцию одной переменной у.
или
где 
не принадлежит 
поэтому рассмотрим значения 
в точках 
и 
А так как 
то для данной функции получим значения в точках 
и 
(это значение уже было вычислено).
На АВ: 
Подставив в функцию 
получим 
или
где
или 
Решим квадратное уравнение: 
и 
Вычислим значение функции 
в точке 
Так как 
то 
Значения на концах отрезка 
и 
совпадают со значениями функции в точках (0,-2) и (3,1).
(уже были получены).
На ОВ: 
получили функцию
где 
Не может быть 
т.е. критических точек нет. Значения на концах отрезка уже получены.
Среди значений функции получены: -28; -27; 0; 27; -21; -26; 24.
Наименьшее значение функция 
в параллелограмме ОСАВ имеет в точке Р1(2,1):
Наибольшее значение эта функция имеет в точке С(3,3):
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности 
в точке, где 
Вычислим 
Частные производные функции 
и 
Их значения в точке (-2,-2):
Уравнение касательной плоскости:
или
4. Найти наибольшую скорость возрастания функции 
в точке М1(0,2).
Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна модулю градиента её.
Найдём 
Модуль этого вектора равен
Таким образом, наибольшая скорость возрастания функции 
в точке М1(0,2) равна 
5. Вычислить производную функции 
в точке М1(0,2) в направлении вектора 
где точка М2(1,1). Каков характер изменения функции в точке М1?
Формула производной по направлению 
Направление 
По координатам точек М1(0,2) и М2(1,1) найдём координаты вектора 
т.е. 
Длина этого вектора равна 
Разделив вектор 
на его длину 
получим 
и 
Вычислим значения 
Подставим в формулу производной по направлению:
Так как 
то скорость функции положительна, т.е. функция в точке М1(0,2) по направлению вектора 
возрастает. Ранее была найдена наибольшая скорость функции, равная
Действительно, 
6. Найти угол между градиентами функции в точках М1(0,2) и М2(1,1).
Найдём градиент в точке М2(1,1).
Угол между векторами 
и 
найдём по формуле 
В нашем случае
Искомый угол 
Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 1113;