Экстремум функции. Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных
Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.
Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него.
Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если
существует такая окрестность точки х0, что для всех х из
этой окрестности
ƒ(х) < ƒ(х0) (ƒ(х) > ƒ(х0)).
Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума).
Рис. 25.
Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1) < ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.
Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.
Теорема.Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная
функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х0)=0.
Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум.
Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х3.
Найдем ƒ¢(х)=3х2. В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)=х3 > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х3<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.
Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.
Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.
Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.
Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через
нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а
именно, если производная меняет знак с плюса на
минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка
минимума.
Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.
Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).
Теорема 2.Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х0) > 0, то
х0 – точка минимума, если ƒ¢¢(х0) < 0, то х0 – точка максимума.
С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.
Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 1042;