Устойчивость звена

Из рассмотрения выражения (1.8) следует, что устойчивость системы зависит от того, в какой области лежат корни p_i.. Для линейных систем определение устойчивости объекта или звена может быть сформулировано более жёстко, чем для общего случая. Линейное звено является устойчивым, если после окончания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвратится к исходному.

Единичный импульс может быть рассмотрен как кратковременное воздействие. В таком случае об устойчивости линейного звена можно судить по значению х_ВЫХ(t) при t→∞: звено устойчиво, если

; (1.21)

звено неустойчиво, если

; (1.22)

звено нейтрально, если

. (1.23)

Если х_ВЫХ(t) при t→∞ является периодической функцией времени, т.е.

, (1.24)

где Т – период колебаний, то звено называется консервативным.

Каждому вещественному значению р_i в выражении (1.8) соответствует слагаемое вида

, (1.25)

где

.

Комплексной паре корней характеристического уравнения

p_i=α_i+jω_i; p_i=α_i-jω_i

соответствует слагаемое вида

(1.26)

Следует различать три случая расположения корней, когда вещественная часть корня: 1) отрицательна (α_i<0); 2) положительна (α_i>0); 3) равна нулю (α_i=0).

В первом случае корень лежит в левой полуплоскости корней, т.е. левее мнимой оси (см. р₁, р₂, р₃ на рисунке 1.8), во втором случае – в правой полуплоскости, т.е. правее мнимой оси (см. р₄, р₅ ,р₆ на рисунке 1.8); в третьем случае – на мнимой оси (см. р₇, р₈, р₉ на рисунке 1.8).

Рисунок 1.8 – Расположение корней характеристического уравнения

В зависимости от расположения корней относительно мнимой оси характер изменения составляющих х_iВЫХ(t) во времени различен. Если α_i>0, то соответствующая составляющая при t→∞ стремится к бесконечности и, следовательно, х_ВЫХ(t)→∞, т.е. звено неустойчиво.

Если α_i<0, то соответствующая составляющая при t→∞ стремится к нулю; следовательно, если все составляющие, число которых конечно, удовлетворяют этому условию, то х_ВЫХ(t)→0, т.е. звено асимптотически устойчиво.

Если α_i=0 при t→∞, то составляющая остаётся конечной и не равна нулю, т.е. звено нейтрально ил консервативно. Оно относится также к устойчивым, но неасимптотическим звеньям.

На рисунке 1.9 для каждого случая расположения корней показаны графики при вещественном корне (а, б, в) и при паре сопряжённых комплексных корней (г, д, е).

а) б) в)

г) д) е)

Рисунок 1.9 – Графики x_iВЫХ при различных корнях р_i

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейного звена является отрицательное значение вещественной части всех полюсов функции W(p), т.е. все полюсы должны лежать в левой полуплоскости р.