Застосування алгебри булевих функцій до релейно-контактних схем

Розглянемо електричні релейно-контакные схеми, головний елемент яких - електромагнітне реле.

Нехай x₁, x₂, ... , x_n – набір контактів у схемі. Контакти можуть бути розмикальними й замикаючими. Контакт називається им якщо він замикається при подачі напруги. Контакт називається розмикальним, якщо він розмикається при подачі напруги. Той самий контакт у схемі може бути як замикаючим, так і розмикальної.

Кожної послідовно- паралельній схемі зіставимо функцію провідності:

f(x₁, x₂, ... , x_n) =

Функція провідності схеми, що складає з одного елемента x, для замикаючого контакту є f(x) = x, а для розмикального контакту f(x) = Øx.

Функція провідності схеми, що складає із двох послідовно з'єднаних контактів x й y (рис. 4.1) є f(x, y) = x&y.

Рис. 4.1

Функція провідності схеми, що складає із двох паралельно з'єднаних контактів x й y (рис. 4.2) є f(x, y) = x V y.

Рис. 4.2

Кожній рівнобіжній-послідовно-паралельній схемі можна поставити у відповідність формулу логіки булевих функцій, що реалізує функцію провідності цієї схеми. Дві схеми вважаються еквівалентними, якщо вони мають однакову функцію провідності. Застосовуючи рівносильні перетворення, можна спрощувати контактні, контактно-релейно-контактні схеми, заміняючи їх еквівалентними, з меншим числом контактів.

Приклад 4.22.

Знайдемо функцію провідності схеми, зображеної на рис. 4.3.

Рис. 4.3

f(x, y, z) = (y&z) V (x&Øy&z) V (Øx&Øy&z) º (y&z) V (Øy&z) º z.

Еквівалентна схема зображена на рис. 4.4.

Рис 4.4

Контрольні питання до теми 4

1. Виберіть правильний варіант відповіді 1 - 4 для наступних питань:

а) Скільки існує різних булевих функцій n змінних? б) Скільки існує різних наборів змінних для булевої функції n змінних?

Варіанти відповіді: 1) 2ⁿ; 2) 2² ; 3) n²; 4) n!.

2. Яке з наступних тверджень вірно:

а) Змінні булевої функції і сама булева функція приймають значення 0 або 1;

б) Змінні булевої функції приймають значення 0 або 1, а значення самої булевої функції збігаються із множиною дійсних чисел;

в) Значення змінних булевої функції збігаються із множиною дійсних чисел, а сама булева функція приймає значення 0 або 1;

г) Значення змінних булевої функції й значення самої функції збігаються із множиною дійсних чисел;

3. Виберіть правильний варіант відповіді 1 - 4 для наступних питань:

а) Скільки може бути різних ДНФ у булевої функції?

б) Скільки може бути різних ДДНФ у булевої функції?

в) Скільки може бути різних КНФ у булевої функції?

г) Скільки може бути різних ДКНФ у булевої функції?

Варіанти відповіді:

1 - нуль або одна; 2 - нуль або нескінченно багато; 3 - нуль або одна; 4 - одна; 5 - одна або нескінченно багато.

4. У який з нормальних форм (ДНФ, ДДНФ, КНФ, ДКНФ) перебуває дана формула булевої функції трьох змінних f(x, y, z):

а) xVy&z; б) x&y&z; в) (xVy)&(xVØz); г) xVyVz; д) Øx&y&z V y&Øz; е) xVØy; ж) x&z.

5. Яка релейно-контактна схема відповідає функції провідності f(x) = (xVy)&(xVØz)?

6. Побудувати досконалу диз’юнктивну нормальну форму

Ù )Ù( ;

ÙC);

;

(AÙ .

7. Записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму бульових функцій, які приймають значення 1 тільки при таких значеннях аргументів:

(0,0),(0,1),(1,0);

(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1);

(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,0,0,0);

(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,1,1,1);

(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,1,1,1).

8. Записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму бульових функцій f1(x1,x2,x3), f2(x1,x2,x3), f3(x1,x2,x3) та f4(x1,x2,x3) які задані таблично: