Розміщення. Розміщення з повтореннями

Нагадаємо означення впорядкованої множини.

Означення 5.1.1. Множину називають впорядкованою, коли в ній встановлено відношення порядку “менше”, що має такі властивості:

1) : або , або ;

2) .

Означення 5.1.2. Нехай , тобто множина складається з елементів, . Розміщенням без повторень з елементів по називають довільну впорядковану підмножину множини , всі елементи якої різні.

Кількість різних розміщень з елементів по без повторень позначають:

.

Два розміщення вважають різними не лише тоді, коли вони відрізняються один від одного хоча б одним елементом, але й тоді, коли вони складаються з однакових елементів, але відрізняються порядком їх розміщення.

Теорема 5.1.1. Кількість -розміщень без повторень з елементів визначається так:

.

Доведення

Перший елемент впорядкованої пари -елементної множини можна вибрати способами, другий – способами. Впорядковану пару за правилом добутку вибирають способами, впорядкована трійка – способами. Продовжуючи цей процес далі, отримаємо:

.

Теорему доведено. <

Теорема 5.1.2. Кількість різних розміщень без повторень з елементів по дорівнює добутку послідовних чисел, більшим з яких є :

.

Приклад. Нехай студенту необхідно скласти чотири екзамени протягом десяти днів. Скількома способами можна це зробити?