Підмножини. Універсальна множина.
Означення 1.1.3. Множину A називають підмножиною множини B тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить і множині B.
Позначують AÍB або BÊA. Читають: “множина A міститься у множині B”, “множина В містить множину А”. Знаки Í і Ê називаються знаками включення або нестрогої нерівності.
Якщо AÍB, однак A¹B, то пишуть AÌB і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак Ì (або É), на відміну від знака Í (або Ê), називається знаком строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини A виконується AÍA. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто ÆÍA (зокрема, ÆÍÆ). Множини А і Æ називають невласними підмножинами множини А, всі інші – власні.
Слід чітко розуміти різницю між знаками Î і Í та не плутати ситуації їхнього вживання. Для будь-якого об’єкта x виконується xÏÆ.
Наприклад,
{a,b}Í{{a,b},{b,c}}, aÎ{a,b}, {c}Ï{a,c}, {a}Í{a,b}.
Властивості підмножин:
§ – рефлексивність;
§ якщо і , то – антисиметричність;
§ якщо і , то – транзитивність.
Разом з множиною А іноді доводиться мати справу з множиною всіх її підмножин, яку на честь Джорджа Буля назвали буліаном множини А і позначають ß (А). Отже, за означенням:
.
Наприклад, якщо , то .
Зауважимо, що якщо множина А має п елементів, то буліан міститиме елементів, через що його називають множиною-степенем множини А.
У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.
У процесі вивчення множин зручно застосовувати так звані діаграми Ейлера-Венна. На них універсальну множину схематично зображують у вигляді прямокутника, а різні її підмножини – у виглядів кругів чи інших фігур всередині цього прямокутника. Наприклад, на даному рисунку зображено універсальну множину Е та її підмножини A, B i C, причому .
Дата добавления: 2014-12-22; просмотров: 1295;