Построение точек пересечения линии с поверхностью

Построения точек пересечения линии с какой-либо поверхностью выполняется с помощью вспомогательной поверхности.

Рис.13.12

Пусть задана поверхность Φ и кривая n, и необходимо найти их точку пересечения (рис.13.12). Задача решается в следующей последовательности.

1. Через данную кривую n проводится вспомогательная секущая поверхность Θ(Θ Ì n).

2. Находится линия m пересечения вспомогательной поверхности Θ с данной поверхностью Φ: m=ΘÇΦ.

3. Определяется точка К пересечения полученной линии m с данной кривой n. Эта точка и будет являться искомой точкой пересечения линии с поверхностью.

В случае пересечения кривой линии с поверхностью в качестве вспомогательной поверхности используют проецирующую цилиндрическую поверхность, которую проводят так, чтобы заданная кривая всеми точками лежала на этой поверхности. На комплексном чертеже проецирующую цилиндрическую поверхность задают одним своим следом, совпадающим либо с горизонтальной проекцией линии, либо с фронтальной.

В случае пересечения прямой с поверхностью в качестве вспомогательной поверхности используют плоскость. Сложность решения задачи во многом зависит от сложности нахождения сечения поверхности вспомогательной плоскостью. Поэтому в качестве вспомогательной необходимо использовать плоскость, пересекающую поверхность по графически простым линиям. Чаще всего применяются проецирующие плоскости.

Рассмотрим два примера на построение точек пересечения линии с поверхностью.

Пример 1. Построить точку пересечения кривой линии n с конической поверхностью Φ(a, S).

Сначала нужно построить каркас образующих заданной линейчатой поверхности (рис.13.13). Для этого на направляющей a необходимо взять несколько точек, и соединить их с вершиной конической поверхности S. Теперь можно приступать к нахождению точки пересечения линии с поверхностью. Заключим кривую n во фронтально проецирующую цилиндрическую поверхность Σ и определим линию пересечения этой поверхности с конической поверхностью Φ. С этой целью найдём точки пересечения образующих конической поверхности со вспомогательной поверхностью Σ: 1, 2, …, 5. Соединив построенные горизонтальные проекции точек, получим горизонтальную проекцию линии m₁, пересечения Σ и Φ. Искомая точка К является точкой пересечения построенной линии с данной линией n. Для определения видимости линии n относительно поверхности необходимо воспользоваться конкурирующими точками.

Рис.13.13

Пример 2. Построить точки пересечения прямой n со сферой (рис.13.14).

Заключаем заданную прямую n во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Σ. Затем находим линию пересечения вспомогательной плоскости со сферой. Построенная линия пересечения и данная прямая, как лежащие на одной и той же плоскости, будут пересекаться между собой. Точки их пересечения K и L являются искомыми точками пересечения заданных сферы и прямой линии.

Рис.13.14

Тема 14. Развёртки поверхностей

1. Общие положения.

2. Классификация разверток поверхностей.

3. Построение точных разверток многогранников.

4. Построение приближенных разверток развертывающихся линейчатых поверхностей.

5. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей.

Литература: §§ 44, 68…70 [1]

Общие положения

Представим поверхность в виде тонкой и гибкой, но нерастяжимой пленки. В этом случае некоторые поверхности можно постепенным изгибанием совместить с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называются развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью – разверткой данной поверхности.

Построение разверток является важной технической задачей, так как в промышленности широко применяются разнообразные изделия, выполненные из листового материала путем изгибания (сосуды, трубопроводы, швейные изделия и др.).

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке и наоборот. Указанное взаимно однозначное соответствие обладает следующими свойствами.

1. При развертывании поверхности на плоскость длины линий, лежащих на ней, сохраняются.

2. Углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны.

3. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь. Из этого следует, что площадь развертки равна площади самой поверхности.

4. Прямой на поверхности соответствует прямая на развертке.

5. Параллельным прямым на поверхности соответствуют параллельные прямые на развертке.

Линия между двумя точками развертываемой поверхности, соответствующая прямой на ее развертке, является кратчайшей линией между этими точками. Такие линии называются геодезическими.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что развертываемыми поверхностями являются многогранники и следующие линейчатые поверхности: цилиндры, конусы и торсы. Все остальные поверхности неразвертываемые.