Проекции прямой, перпендикулярной плоскости
При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить перпендикуляры к плоскости. Это требует установления признаков, которые позволяли по чертежу судить о перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве и, наоборот, строить на чертеже прямые и плоскости, перпендикулярные друг другу в пространстве.
Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве этих двух пересекающихся прямых плоскости приходится использовать линии уровня плоскости, т.к. согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях. Условия перпендикулярности прямой и плоскости устанавливаются следующей теоремой.
Теорема. Для того, чтобы прямая была бы перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была бы перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Доказательство. Необходимость. Допустим, что прямая перпендикулярна к плоскости. Тогда она перпендикулярна к любым прямым этой плоскости, в том числе горизонталям и фронталям плоскости. Согласно теоремы о проецировании прямого угла, перпендикулярность прямой и горизонтали сохраняется на горизонтальной плоскости проекций, а перпендикулярность прямой и фронтали – на фронтальной плоскости проекций. Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Тогда в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямая в пространстве будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали плоскости. А это значит, что прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Установленные теоремой признаки позволяют строить на комплексном чертеже прямые, перпендикулярные к плоскости.
Рассмотрим примеры.
1. В точке А восстановить перпендикуляр m к плоскости Σ(ΔАВС).
Сначала через вершину А плоскости Σ проведём горизонталь h и фронталь f (рис.5.8). Горизонтальную проекцию искомого перпендикуляра n1 необходимо провести перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальную проекцию перпендикуляра n2 – перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали плоскости.
2. Через точку А провести плоскость, перпеникулярную прямой m.
Искомую плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью, каждая из которых должна быть перпендикулярна к прямой m (рис.5.9). Поэтому горизонтальная проекция горизонтали h1 должна проходить через горизонтальную проекцию А1 точки А перпендикулярно горизонтальной проекции прямой m1. Фронтальная проекция горизонтали h2 проходит через фронтальную проекцию А2 точки А, параллельно оси x12. У фронтали наоборот – фронтальная проекции f2, проходящая через фронтальную проекцию А2 точки А, перпендикулярна фронтальной проекции прямой m2, а горизонтальная проекции f1 проходит через точку А1 параллельно оси x12.
Рис.5.8
Рис.5.9.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 2232;